《G113格林公式》PPT课件

1,主讲教师:王升瑞,高等数学,第二十讲,2,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,格林公式及其应用,第十一章,3,引例：计算,积分路径沿着圆周,的正向。,解法：应用格林公式,由于二重积分和平面的曲线,那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来？,本节介绍格林公式将指出，,二重积分可以化为沿区域D的边界曲线L正向的曲线,积分，,在平面闭区域D上的,这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系。,积分都是化为定积分来计算的，,4,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),域D边界L的正向:域的内部靠左,定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有,(格林公式),函数,在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式,证明：即要证,5,证明:,则,6,即,同理可证,、两式相加得:,7,2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,证毕,8,引例：计算,积分路径沿着圆周,的正向。,解法：应用格林公式,9,例1：利用格林公式计算,L由曲线,解：画出闭曲线及其所围成的区域D。,1.简化曲线积分,简单应用,10,例2计算：,其中L为折线OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2).,解：,11,所以由格林公式,例3,12,例4.,设L是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,13,例5.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设L所围区域为D,由格林公式知,14,在D内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记L和l所围的区域为,林公式,得,15,解,例6,16,统一变量化成定积分,取顺时针方向。,17,其中L为上半圆周,解:,沿逆时针方向.,例7计算,18,2.计算平面面积,19,推论:正向闭曲线L所围区域D的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,20,解,例8,21,例9.计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,利用格林公式,有,3.简化二重积分,22,例10：用两种方法计算,L由曲线,解法1,23,例10：用两种方法计算,L由曲线,解法2,轮换对称法,24,例11.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,此题的特点：,25,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(2)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(3)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(4),与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,(1)在D内每一点都有,26,证明(1)(2),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,27,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(2)(3),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(2),28,证明(3)(4),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,29,证明(4)(1),设存在函数u(x,y)使得,则,P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,30,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,31,例1.计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:,它与L,圆周,所围区域为D,则,为了使用格林公式,添加辅助线段,32,解：因为,即不含原点的单连通域，积分与路径无关。,取新路径,例2,33,其参数方程为,例2,34,例3：计算,解：,积分与路径无关,统一变量化成定积分,35,例4设C为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:,添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,36,例5.验证,是某个函数的全微分,并求出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,。,。,37,例6：验证,在整个,平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。,解：,在整个,平面上都成立,则所给出的微分式是全微分式。,利用公式：,取,为起点，动点为,方法1,38,方法2,39,方法3取,注：积分的起点不同，结果相差一个常数。应该选择,某些特殊的点方便计算。,例6：验证,平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。,40,方法4,41,例7.验证,在右半平面(x0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理2可知存在原函数,42,或,43,2.设,提示:,44,例8.设质点在力场,作用下沿曲线L:,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,45,思考:积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意：本题只在不含原点的单连通区域内积分与,路径无关!,46,例9.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到,点B(3,4),到原点的距离,解:由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为,47,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲