《i的计算》PPT课件

主讲：张芳,第四讲,.圆周率的计算历程,所谓“圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。回顾历史，人类对的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。,实验时期,基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用3这个数值。最早见于文字记载的有基督教圣经中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。,几何法时期,真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。,圆周长大于内接正多边形周长而小于外切正多边形周长据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。,在中国,刘徽：公元263年前后，刘徽提出著名的“割圆术”求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形，一直到正3072边形，算出圆周率等于3.1416，将圆周率的精度提高到小数点后第四位。,在中国,祖冲之:在刘徽研究的基础上，进一步地发展，经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正24576边形，而得到一个结论：3.14159263.1415927同时得到的两个近似分数：约率为227；密率为355113。他算出的的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。,分析法时期,这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算。1593年，韦达给出,这一不寻常的公式是的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出值。,接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出：,发现了下面的公式,1706年，英国天文学教授JohnMachin(麦琴)利用,并利用这个公式计算到了圆周率的100位.,1914年，印度数学家SrinivasaRamanujan发表了下面的公式：,在1985年，Gosper用这个公式计算到了圆周率的17500000位,1989年，David和GregoryChudnovsky发表了下面的公式,并在1994年计算到了4044000000位它的另一种形式是,1995年，由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe共同发表了下面的圆周率计算公式（简称BBP公式）,该公式的最大优点在于：经后来人将该公式变形后打破了传统的计算方法，可以直接计算圆周率的任意第n位数，而不是先计算前面的n-1位数,1997年，FabriceBellard发表了一个比BBP算法更快的公式,从而，大大降低了圆周率近似值的计算量.,例1,解,编写下面的程序(pi11):n=10;%选择展开式的次数s=0;digits(22);%定义计算过程中的精度fork=1:ns=s+4*(-1)(k+1)/(2*k-1);endvpa(s,20)%定义显示精度为20位,(Pi13)clc;cleark=-1;r=1;p=0;n=0;whiler=1.0e-4n=n+1;k=k*(-1);p1=p+k/(2*n-1);r=abs(4*(p1-p);fprintf(n=%d,p=%.10fn,n,4*p);p=p1;end,练习,n=50;%定义等分积分区间数，可以更改i=0:1/n:1;(pi12原理见p22)s=0;digits(22);%定义计算过程中的精度fork=1:length(i)-1s=s+(1/(1+(i(k)+i(k+1)/2)2)*1/n;endvpa(4*s,20)%定义显示精度为20位,表,数值积分简介,在高等数学中有一类积不出的积分，如,（概率积分）（椭圆积分）,利用数值积分法,输入：x=0:0.1:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y)输出：ans=0.746211,MATLAB命令梯形方法trapz(x,y)抛物线方法quad(f,a,b),如求积分的近似值,y=inline(exp(-x.2);quad(y,0,1)ans=0.746826,梯形方法,抛物线方法,梯形方法,公式推导：,条件：,当区间划分为n等分时,trapz(x,y),复化梯形方法,当区间等距划分为n个子区间时,现对每个子区间再二等分，得到2n个子区间,举例,利用复化梯形算法求Pi的近似值.,取,运用复化梯形算法,输入初值：,输出结果：STOP,No,Yes,clear;a=0;b=1;(pi14)f=inline(4/(1+x*x);t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b);er=1;n=1;whileer1.0e-6h=(b-a)/n;s=0;fori=1:ns=s+f(a+i*h-h/2);endt2=(t1+h*s)/2;er=abs(t2-t1);fprintf(t=%.6f,r=%.6fn,t2,er);n=2*n;t1=t2;end,抛物线方法,分析：,条件：,梯形法是对每个子区间用梯形面积近似曲线下面积累加而成；而抛物线法是对每个子区间考虑其中点，用三点决定的抛物线下面积来近似.,当区间划分为n(n1)等分时,辛浦生(Simpson)方法,clear;a=0;b=1;f=inline(4/(1+x*x);t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b);er=1;s1=0;n=1;,whileer1.0e-6h=(b-a)/n;s=0;fori=1:ns=s+f(a+i*h-h/2);endt2=(t1+h*s)/2;s=t2+(t2-t1)/3;er=abs(s-s1);fprintf(s=%.6f,r=%.6fn,s,er);s=s1;n=2*n;t1=t2;End(pi15),cs=0n=500%随机取点数fori=1:na=rand(1,2);ifa(1)2+a(2)2=1cs=cs+1endend4*cs/n(pi16),3.184000000000003.104000000000003.138666666666673.120800000000003.14376000000000,从计算结果看：这种数据