函数的极值与最大最小值.ppt

函数极值及其求法函数最值及其求法函数最值在经济中的应用,第五节函数的极值与最大最小值,一、函数极值及其求法,o,x,y,y=(x),M,m,a,b,设函数y=(x)在ab内图形如下图:,而在处的函数值比它附近各点的函数值都要大;,但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,而且,比它附近各点的函数值都要小;,为此,我们引入函数极值与极值点的概念.,1.极值的定义,x=x0称为(x)的极大值点.,则称为函数(x)的极小值.,称为(x)的极小值点.,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.,注3由极值定义知:极值是函数的局部性态.它只是极值点的函数值与极值点附近的函数值相比较而言的,故它只可能在(a,b)的内部取得.,注4在闭区间a,b内,一个连续函数可能有若干个极小值或极大值,却最多只有一个最大值M与最小值m,而且最大值一定在极大值点或端点取得,最小值一定在极小值点或端点取得.,注1x0为极值点,(x0)为极值,极值是极值点处的函数值.,注2在区间(a,b)极值不一定是最值,但最值一定是极值.,2.极值的必要条件,证,设为极值(不妨设为极大值),则存在x0的一邻域,当时,有,当时,有,当时,有,注2定理条件是必要而非充分的,即可导函数的极值点一定是导数为0的点,导数不为0的点一定不是极值点.反过来,导数为0的点可能是极值点可能不是(驻点未必是极值点),所以我们要找极值点可先从导数为0的点中找.,注1定理的几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是与x轴平行的(罗尔定理).,o,x,y,则x=0为f(x)=x3的驻点.,但是,x=0不是f(x)=x3的极值点.,如,注3并不是所有驻点包含了所有的极值点,极值点还可能出现在导数不存在的点处(即导函数无意义的点).,如函数y=|x|,x=0是函数的连续不可导点.但x=0是函数的极小值点.如图.,o,x,y=|x|,y,注4综上所述,函数的极值点应从导数为0和导数不存在的点中找,这些点包含了所有的极值点.,(是极值点情形),(不是极值点情形),定理2(极值存在的第一充分条件)设函数y=(x)在,3.极值存在的充分条件,根据如下定理对导数为0和导数不存在的点判别是否为极值点.,此定理可简单叙述为:设x0为连续函数(x)的可能极值点,若,若在x0的两侧保号,则x0不是(x)的极值点.,证由极值的定义及定理1可证.,求极值的步骤:,例1求函数,解,此函数的单调性在前面已讨论,现重新列表如下:,故函数有极大值(0)=0.函数有极小值,解,练一练,解,故x=0为f(x)的极小值点.为直观列表如下：,由上表可看出,函数(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间,(0,+)内单调递增,且(x)的极小值为,当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时,也可用下面定理来判定(x)在驻点处取得极大值还是极小值.,定理3(极值存在的第二充分条件),证,及极限的保号性定理知,只证(1),由于,利用二阶导数判断极值点的另一种方法：,的邻域内由负变到正,则由定理2知,(x)在x0处取得极小值.,注2定理4是用于判别一阶导数为0,而二阶导数不为0的点x0是否为函数极值点的方法.对于判别导数不存在的点是否为极值点不适用.,如,解,例7,故定理3比定理4更普遍(只需点连续即可).,解,练一练,不是极值点,故只有极小值,解,在许多经济理论与实际实际应用中,常常遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使:“产品成本最低”,“产品用料最省”,“效率最高”等问题.这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题.,函数(x)的最值与极值是两个不同的概念,最值是对整个定义域而言的,是整体性的;极值是局部.最值不仅可以在a,b的内点取得,也可以在a,b的端点取得;极值只可能在(a,b)的内点取得,即极值点只在区间的内部取得,不能在端点取得.,二、函数的最值及其求法,最值最多只有一个最大值与最小值.而一个函数可能有若干个极大值或极小值.,我们知道,闭区间上连续函数一定有最大与最小值.于是,其最值点可在极值点以及区间两个端点中寻找.自此,求闭区间a,b上的连续函数f(x)的最值时,只需分别计算f(x)在开区间(a,b)内的驻点、导数不存在的点以及端点a和b处的函数,值,然后加以比较.其中最大者就是函数(x)在a,b上的最大值,最小者就是函数(x)在a,b上的最小值.于是,求闭区间a,b上连续函数(x)最值的一般步骤是:,(1)求出函数(x)在区间(a,b)内所有可能的极值点(驻点和一阶导数不存在的点).设为x1,x2,xn;,(2)求出相应的函数值,(3)比较(2)中所有函数值的大小,其最大者为函数(x)在闭区间a,b上的最大值,最小者为函数(x)在闭区间a,b上的最小值.,例1,解,计算,比较得,解,(1)f(x)的定义域为(,1,(2),(5)比较大小得,在8,1上的最大值为,(4)分别计算函数值,最小值为f(8)=5,解之得驻点为,练一练,解(1)(x)在0,3上连续,且其导数为,(2)函数(x)的驻点为x=1,不可导点为x=2和x=0.,(3)计算这三个点与端点的函数值得,(4)比较这些函数值的大小,有,min(x)=(0)=(2)=0,(0)=0,(1)=1,(2)=0,max(x)=(3)=,注若(x)在a,b上为严格单调连续函数,则其最值只能在端点上达到.,结论1若(x)在某闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,点x0是(x)在(a,b)内的唯一驻点,且x0为(x)的极大值点(或极小值点),则x0必为(x)在闭区间a,b上的最大值点(或最小值点).,在解决实际问题时有如下结论：,结论2若(x)在某闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,点x0是(x)在(a,b)内的唯一驻点,且从实际问题本身可以知道(x)的最值比在区间(a,b)内部取得,则x0必为(x)在闭区间a,b上的最大值点(或最小值点).,例3设圆柱形有盖茶杯容积V为常数,求表面积为最小时,底半径r与高h之比.,解设表面积为S，则目标函数为,是可能的极值点且唯一.,解决实际问题的步骤:,建立目标函数及其取值区间,求目标函数的最值.,点取得极小值也是最小值.,即半径与高的比为1/2时茶杯表面积最小.,练一练,求乘积为常数a0,而其和为最小的两个正数.,解设两个正数为x,y(x0,y0),其和为s=x+y,则由xy=a得,故函数s(x)可能的极值点只有一个,从而目标函数为,在本小节的讨论之前,先对下面所涉及的经济函数作如下的假定:,设函数y=(x)是定义在区间I上的函数,且满足：(1)函数y=(x)在区间I上可导;(2)如果函数y=(x)在区间I上有最大(小)值,则最大(小)值点位于区间I的内部.,三、函数最值在经济中的应用,1.最大利润,设总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q),其中Q为销量,则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为,L=L(Q)R(Q)C(Q),假设产量为Q0时,利润达到最大,则由极值的必要条件和极值的第二充分条件,L(Q0)必定满足:,可见,当产量水平Q=Q0使得边际收益等于边际成本时,可获得最大利润.,经济分析中,常用MR表示边际收益,MC表示边际成本.,即当MR=MC时,可获得最大利润.,这是因为,假设二者不等,当MRMC时,则在产量Q=Q0的基础上再多生产一个单位产品,所增加的收益大于所增加的成本,因而利润有所增加.,若MR0,即t满足限制0t1时,需求是富于弹性的,降价可使总收益增加;,而当Ed1时,需求是缺乏弹性的,提价可使总收益增加.,因此,当总收益达到最大时,需求价格弹性一定为单位弹性.,3.平均成本最小,设企业的总成本函数为,C=C(Q),若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平,这就是求平均成本函数的最小值问题.,平均成本函数为,假设在产量Q=Q0时,平均成本达到最小,则由极值存在的的必要条件,有,其中,AC表示平均成本.,即当平均成本达到最小,MC=AC.,从而,MC=AC是取得最小平均成本的必要条件.,例8某工厂生产产量为Q(件)时,生产成本函数(元)为,求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小?并求出其最小平均成本和相应的边际成本.,且驻点唯一.,唯一的极小值点.,解,平均成本达到最小,且最小平均成本为,而边际成本函数为,时,相应的边际成本为,显然有平均成本(用AC表示)最小时,MC=AC,4.最优决策时间,由于资金有时间价值,因而在分析投资问题时,必须把发生在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流.在经济分析中,一般的做法是将投资成本与投资收益先转化成投,资成本的现值与投资收益的现值(经济学中称为贴现),然后再做投资决策分析.,设A0为初始本金(称现值),r为年利率,按连续复利计算,t年末的本利和记作At(称总收入).则当年结算m次时,就有,从而有连续复利公式,欲求的现在值的问题称为贴现(率)问题.则一年,与此相反,经济学中把已知未来值为,贴现率也为r.,结算m次,t年末的贴现净额为,按连续复利计算,得t年末的贴现净额为,(也称为贴现公式),解设这批酒窖藏t年整,售出总收入的现值为P,则按照贴现公式得,假设资金的贴现率为r,并以连续复利计息,为使总收入的现值最大,应在何年出售此酒?并求r0.1时的t的值.,两端求导,得,得唯一不可导点,此时收入的最大现值为,(整年)时,是最佳销售时间,时,函数P(t)在该点达到最大值,即储藏年限为,当r=0.1时,t=25,即此酒商应将此酒窖藏25年.,可见,利率(贴现率)越高窖藏期越短.,5.最优批量和批数,当一个商场进一批货物时,除支付购买这批货物的成本外,还需一笔采购费.在货物没有出售完毕前,还需将部分货物库存起来,这需一笔库存费.最优批量问题是：如何决策每批的,进货数量,即批量.以使采购费与库存费之和达到最小.,例10某厂年需某种零件8000个,现分期分批外购,然后均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半).若每次定货的手续费为40元,每个零件的库存费为4元.试求最经济的定货批量和进货批数.,解设每年的库存费和定货的手续费为C,进货的批数为,因而当进货的批数为20批,即定货批量为400个时,每年的库存费和定货的手续费最少最经济.,故驻点为极小值点.,驻点x=20,企业在正常生产的经营活动中,库存是必要的,但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费.因此确定最适当的库存量是很重要的.,6.最佳存款利息,例11某家银行,准备新设某种定期存款业务.假设存款量与利率成正比,经预测贷款投资的收益率为16%,那么存款利息定为多少时,才能收到最大的贷款纯收益?,解设存款利率为x,存款总额为M,则由题意M与x成,正比,得,M=kx(k是正常数),若贷款总额为M