《D76高阶微分方程》PPT课件

,可降阶高阶微分方程,机动目录上页下页返回结束,第六节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,机动目录上页下页返回结束,例6.1求微分方程的通解.,解：对所给方程两端依次积分三次，可得,其中C1,C2,C3为任意常数.,例6.2求微分方程满足下列初值条件的解.,解：将所给方程积分一次，可得,其中C1为任意常数.,由得C1=0,从而,再积分一次，得,其中C2为任意常数.,由得C2=0,于是所求特解为,例.,解:,机动目录上页下页返回结束,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,机动目录上页下页返回结束,例6.3求方程满足下列初值条件的解.,解：令,带入所给方程得,用分离变量法解得,其中C1为任意常数.,由得C1=3,从而,其中C2为任意常数.,由得C2=1,故所求特解为,例6.4鱼雷攻击问题.某敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰位于敌舰的正西方向1海里处，我舰发现敌舰后立刻发射鱼雷.敌舰以常速度v逃逸，鱼雷始终指向敌舰，追击速度为敌舰速度的2倍.问敌舰逃出多远时将被击毁？,解：以我舰的初始位置为坐标原点(0,0),敌舰的初始位置,为点A(1,0)，建立直角坐标系，如图,设鱼雷的轨迹方程为y=y(x)，则其满足初始条件,在时刻t鱼雷的位置是P(x,y)，敌舰的位置是Q(1,vt).依题意，点Q应位于轨迹y(x)过点P的切线上.该切线的方程为,而鱼雷在t时刻已走过的距离为,上述两个方程联立消去vt得,两端关于x求导得,这是鱼雷运动轨迹所满足的微分方程.此方程不显含y,令,代入上述方程得,分离变量后积分并利用初始条件有,上述两式相减并将p=y代入，得到,两端积分，并利用初始条件有,这就是鱼雷追击敌舰的运动轨迹方程.因当鱼雷击中敌舰时，其横坐标x=1,代入上述方程得纵坐标y=2/3,即敌舰逃至距离点A(1,0)正北2/3海里处时将被鱼雷击毁.,例.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,机动目录上页下页返回结束,对于,型方程(n2)，可以令,得,如果能求出其通解,逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解,其中C1,C2.,Cn为任意常数.,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,机动目录上页下页返回结束,例6.5求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,机动目录上页下页返回结束,例6.6,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,机动目录上页下页返回结束,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,机动目录上页下页返回结束,例6.7求的通解.,解：此方程无法解出,可引入参数t，令,则,其中C1,C2为任意常数.,两端再积分可得参数形式的解为,例.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根