《D68格林公式》PPT课件

,第八节（1）,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,各种积分的联系及其在场论中的应用,第六章,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),域D边界L的正向:域的内部靠左,定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有,(格林公式),函数,在D上具有连续一阶偏导数,或,一、格林公式,证明:,1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且,则,定理1,即,同理可证,、两式相加得:,定理1,2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,证毕,定理1,Green公式可以推广到由有限条分段光滑的闭曲线所围成的复连通域。,对于右图复连通区域D，可以将其割一刀，将复连通域变成单连通域，于是D的边界构成为：,Green公式仍成立,推论:正向闭曲线L所围区域D的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,定理1,4,例2.,设L是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,例3.计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,利用格林公式,有,例4.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设L所围区域为D,由格林公式知,在D内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记L和l所围的区域为,林公式,得,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,沿路径C从点A到点B的线积分,此时，可记为,应与向量场A(M)的分布，起点A与终点B的位置以及积分路径C三者有关。但，有的却与积分路径无关，比如重力场做功,一般的，线积分的值与积分路径无关时，称场A(M)为保守场。,定理2.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),定理2,证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,定理2,证明(3)(4),设存在函数u(x,y)使得,则,P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,定理2,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,定理2,定理2的物理意义：,如果把向量场看作是一平面流速场v(x,y),即v=Pi+Qj,于是,设流体密度为1，因而上式右端积分表示在单位时间内，场v沿闭曲线C流动流体的流量，力学上称其为沿C的环流量。它给出了流速场v绕曲线C旋转趋势大小的度量。一般的，我们称沿闭曲线C的第二型线积分,定理2,流速场在曲线C的切线方向的分速度,为向量场A沿闭曲线C的环量.,命题1中，沿任一分段光滑的简单闭曲线C的线积分为0，这表明了向量场A(M)在D内绕任一点均无旋转趋势，我们称其为无旋场。,定理2,命题2表明向量场A（M）是一个保守场.,定义：对于给定的连续向量场，表达式Pdx+Qdy如果是某个二元函数u的全微分，则称u是向量场A(M)的势函数或位函数，而向量场A(M)是一有势场。,命题3表明向量场A（M）是一个有势场.,定理2表明，对于一个连续向量场，A(M)是无旋场、保守场、有势场三者是相互等价的。,说明:,根据定理2,若在某区域D内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,定理2,4)若已知du=Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲,定理2,注:此式称为曲线积分的基本公式,它类似于微积分基本公式:,例：计算,例6.计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,例7.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,例8.验证,在右半平面(x0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理2可知存在原函数,或,30,例9,说明线积分,在全平面是与路径无关，并求I的值。,解,所以在全平面线积分与路径无关，,例10,证,例11.设质点在力场,作用下沿曲线L:,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,思考:积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关!,内容小结,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲线L有,在D内有,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,2.设,提示:,第四节,备用题1.设C为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,2.质点M沿着以AB为直