《D31导数概念》PPT课件

第3章,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),一元函数的微分学,导数思想最早由法国,数学家Fermat在研究,极值问题中提出.,英国数学家Newton,3.1.1问题的引入,3.1.2导数的定义,3.1,机动目录上页下页返回结束,导数概念,第3章,3.1.3导数的几何意义,3.1.4可导性与连续性的关系,3.1.1问题的引入,1.变速直线运动的速度,设一作直线运动的质点，,自由落体运动,机动目录上页下页返回结束,则从,到,的平均速度为：,而在,时刻的瞬时速度为：,其运动方程(位置函数)为：,2.非均匀细棒的线密度（单位长度所含的质量）,设一非均匀细棒的质量函数为：,当长度,无限趋向于零时,机动目录上页下页返回结束,在长度为,平均密度为：,上的质量是：,在细棒上任取一点l，和任一长度,两个问题的共性:,瞬时速度：,线密度：,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限。,类似问题还有:,加速度：,角速度：,磁场强度：,电流强度：,是速度增量与时间增量之比的极限；,是转角增量与时间增量之比的极限；,是磁通量的增量与时间增量之比的极限；,是电量增量与时间增量之比的极限；,变化率问题,机动目录上页下页返回结束,3.1.2导数的定义,定义:,收敛,记作：,则称函数,机动目录上页下页返回结束,在点,称为函数,在点,处的导数，,处关于(对)x可导，,若,简称,在点,处可导；,（函数的增量）,称函数,若,发散，,处不可导；,在点,Lagrange（拉格朗日）,Leibniz(莱布尼兹),设函数,称为,记作：,称函数,机动目录上页下页返回结束,在区间I里可导，,显然有：,称为函数,在点,处的左导数；,称为函数,在点,处的右导数；,收敛,均收敛，且,若函数,在开区间,均收敛，,在闭区间,则称函数,在区间I里每一点(关于x)都可导，,若函数,的导函数.，,简称为导数,内可导，,且,上可导。,质量函数,在点l处的线密度：,说明:在经济学中,消费指数增长率；边际成本率；边际劳动,生产率和边际税率等从数学角度看都是相应函数的导数。,机动目录上页下页返回结束,运动质点的位置函数,在,时刻的瞬时速度：,例1.求函数,(C为常数)的导数；,解:,即,例2.求幂函数,解:,机动目录上页下页返回结束,的导数；,即,说明：,当,机动目录上页下页返回结束,特别地：,时，,当,时，,当,时，,当,时，,例3.求函数,的导数（其中：k为常数）.,解:,取,机动目录上页下页返回结束,得：,取,得：,例4.求函数,的导数。,解:,特别地，当取a=e时得：,机动目录上页下页返回结束,即：,例5.求函数,的导数。,解:,即：,特别地，当取a=e时得：,机动目录上页下页返回结束,例6.证明函数,在点x=0处不可导.,证:,发散,例7.设,收敛，,解:原式,机动目录上页下页返回结束,即,在点x=0处不可导。,求极限,3.1.3导数的几何意义,曲线,在点M处的切线,割线MN的极限位置MT。,割线MN的斜率,切线MT的斜率：,机动目录上页下页返回结束,（当,时）,因曲线,若,则函数,附近必上升;,若,则函数,附近必下降;,若,切线与x轴平行,称为函数的驻点;,若,切线与x轴垂直.,切线方程:,法线方程:,机动目录上页下页返回结束,若,收敛，,在点,的切线斜率：,则曲线过点,处有,在点,在点,例8.问曲线,在哪一点处有垂直切线？,处的切线与直线,平行？,解:,令,得,对应,则在点(1,1),(1,1)处与直线,平行的切线方程分别为：,即,故在原点(0,0)有垂直切线：,机动目录上页下页返回结束,在哪一点,并写出相应的切线方程。,3.1.4函数的可导性与连续性的关系,定理：,证:,设,在点x处可导,收敛,因此必有,其中:,故,所以函数,在点x连续。,注意：函数在点x连续未必可导。,反例:,在x=0处连续,但不可导。,即,机动目录上页下页返回结束,在点x处可导，,则,在点x处必连续。,函数,内容小结,1.导数的本质：,3.导数的几何意义：,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式：,6.判断可导性,函数不连续,一定不可导；,直接用导数定义；,看左、右导数是否收敛且相等。,2.,增量比的极限,曲线,机动目录上页下页返回结束,收敛,且均收敛；,处可导）,在给定点处切线的斜率;,在点,（,思考与练习,1.函数在某点处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,机动目录上页下页返回结束,2.设,存在,则,3.已知,则,4.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,机动目录上页下页返回结束,5.设,问a取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在x=0连续.,机动目录上页下页返回结束,作业,P852,5,6,9,13,14(2),16,18,第二节目录上页下页返回结束,牛顿(16421727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,机动目录上页下页返回结束,莱布尼兹(16461716),德国数学家,哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国