第三章 能带理论ppt课件

.,第三章能带论-I,能带的概念、形成近自由电子近似紧束缚近似,前面讨论了晶体离子晶格的排列本章讨论晶体中价电子的性质价电子的运动受到多种因素的影响：与离子的作用；与其他电子的作用。这是复杂的多体问题（量子多体）只能依赖专门的计算理论与高速计算机，能带计算本身是一项很专业的科研工作。在本科的固体物理学，使用初等量子力学，了解能带的形成机制。重点是理解导体、绝缘体、半导体的本质,.,快速浏览,初识能带能带的成因能带的重要意义能带理论的发展能带的近似理论,.,一、初识能带,经典理论：连续能量量子理论：量子化能级（分立）,准连续能级,.,一、初识能带,当原子结合成固体，形成带状能级能带大量能级形成准连续的带，带间可能有间隔（带隙）能带同时具有分立、连续的能量特点,.,.,二、能带的成因,反对称，反键态，能量高,对称，成键态，能量低,.,二、能带的成因,.,二、能带的成因,分裂2,分裂N,原子,分子,晶体,一般地，形成固体时，原子轨道能级展开成一个能带,.,二、能带的成因,P146,图75,.,三、能带的重要意义,固体的导电性质，主要是能带结构决定，而不是由电子的多少决定。能带是分析新材料、设计新器件的基础能带工程能带的概念被推广到固体中光、声的传播（1987光子晶体、声子晶体）,能带理论是凝聚态物理中最重要的部分,.,四、能带理论的发展,1900,Drude建立金属自由电子气体模型，解释金属的电导、热导；1928，Sommerfeld引入Fermi-Dirac统计（量子），解释电子的热容量等。固体的能带理论的建立：1928，F.Bloch应用量子理论研究固体的电子运动，提出Bloch定理，奠定了现代量子固体物理的基础。1931年，A.H.Wilson依据能带理论，成功地解释了金属、绝缘体和半导体的差别（定性研究）。,Kokn,物理学家、1998年诺贝尔化学奖,1964,W.Kohn等建立密度泛函理论，借助与计算机，能够定量计算高分子、纳米材料、介观器件等。（精确计算）,.,五、能带的近似理论,BornOppenheimer绝热近似认为离子实是静止不动的理由之一：原子振动相对于原子间距是很小的，5%，所以电子感觉到晶格的畸变很小(正常态）；理由之二：原子质量大，相对与电子的运动速度慢。,能带论是一种近似理论，主要有三个假设（近似）：,.,五、能带的近似理论,2）单电子近似其他电子的影响忽略，或归结到势场。理由：由于泡利不相容原理，两电子间的平均距离较大。周期场近似离子实或其他电子的作用归结为一个周期性势场：,.,五、能带的近似理论,本章下面的内容主要讨论这种单电子Schordinger方程的求解方法初等量子力学,能带问题简化为“单电子在周期场”的运动,.,3-1布洛赫定理及能带,Next:怎样求解周期场中的Schordinger方程,.,19251926，Heisenberg，Schordinger等人建立量子力学的矩阵力学形式和波动力学形式。,1946年他和汉森、帕卡德一起研究发展核感应原理，即用原子核感应的方法测量由于原子核磁矩旋所感应的电动势，提出核磁共振技术，和E.M.Purcell获得1952年诺贝尔物理学奖。,在Heisenberg的建议下，Bloch应用量子力学研究固体中的电子问题。他从电子在周期性离子间运动的图像出发，得出固体中电子运动的波函数的一般形式（Bloch波函数），这一理论为现代固体理论奠定了基础（1928）,.,一、Bloch定理（1）,在周期性势场中运动的电子的波函数可写成布洛赫波的形式：,u是晶格的周期函数：,布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，或：振幅受周期性调制的平面波。这样的电子也称为Bloch电子（区别与自由电子）：它的波幅从一个原胞到另一个原胞时发生周期性变化。Bloch电子在整个晶体中运动，也称晶体电子。,.,一、Bloch定理（2）,单电子在等效周期势中运动时，波函数形式为：,即：平移晶格矢量Rn时，波函数只增加一个相因子,在一维情况下被称为Floquet定理，因为Floquet首先证明了一维情况。,.,一、Bloch定理（证明）,.,由归一性：,根据关系：,选取线性关系：,证毕,一、Bloch定理（证明）,.,二、K的值及物理意义,电子波选取周期性边界（同晶格振动）,根据Bloch波：,.,可以取：,根据周期性，可以把li限制在第一布里渊区：,K态在第一BLZ均匀分布，总数为N,密度为：,l为整数,二、K的值及物理意义,.,二、K的值及物理意义,K的意义：K是Bloch波的波矢，但hK并不是电子的动量。hK被称为“晶体动量”，K是描述电子状态的一个量子数。,.,思考复习,简单说明原子的能级与固体能带间的联系什么是BornOppenheimer绝热近似？解释该近似的根据。能带论的单电子近似采用哪些近似？简述布洛赫定理。试说明电子布洛赫波的意义。证明：Bloch电子波的波矢hK不是动量算符的本征值。,.,三、一维电子：空格子模型,本征波矢：,布里渊区：,一维无限深势阱,.,本征能,特点：E与P2/k2成正比不形成能带,.,3.2弱周期势近似,实际晶格中，势能是周期性变化的，若势能起伏不太大取平均势势的起伏用微扰论处理（周期性微扰）,.,一、模型和微扰计算,周期势：,零级近似：,.,零阶解：,解为平面波因为忽略了晶格势的变化,Bloch波也是平面波，但波幅周期性变化,.,补充：Dirac符号,波函数（态）,正交归一性,.,微扰计算,微扰哈密顿：,能量一级微扰：,能量二级微扰：,波函数一级微扰：,.,计算矩阵元,对每个元胞，令：,表示在V的作用下，电子从k到k态的几率,.,其中：,干涉相消,综合：只有当k与k相差整数个倒格子时，即：,微扰结果：,波长相差nb的态有作用，差别越大，影响越小。,.,布里渊边界处的态,当时，k=n/a上面的微扰计算不适用如k=/a和k=-/a是简并的即：在布里渊区边界的态，要考虑简并问题考虑两个态：,.,类似于两个波形成共价键的处理方法：,可解出：,当0时：,.,结论：在布里渊边界，发生“能级的排斥”,.,二、能带和能隙,能带和能隙自由电子能量（空盒子模型）受到周期性势的作用。k远离n/a处的态（=na)受到的影响较小；在n/a处的态影响很显著，E(k)断开形成突变。,.,简约波矢（区）第一能带称为简约区，相应的波矢为简约波矢,这些态形成一些（准）连续的能级能带能带间的能量差能隙。电子不能以能隙中的能量存在。,第m个带（不含简约区）的波矢,.,可以把各个带的态都在简约区内表示。,.,4-3三维周期场中电子运动的近自由电子近似,一维的讨论可以推广到二维、三维一、模型,.,0级近似空盒子模型,.,补充从原子到分子,单原子：,.,Dirac符号,波函数：,正交归一性：,本征方程：,.,结合成分子，电子在两势阱中隧穿，在每个原子中都有出现的几率：,本征方程：,.,.,同样：,所以：,.,左乘，积分：,左乘，积分，有类似的结果。用Dirac符号，简记：,.,假设,.,与正交归一，即：,.,解：,.,当时：,当时：,反键态,成键态,.,结论,电子在两个原子附近出现的概率相等。J1反映原子交迭的情况，决定能级分裂的大小。推广到3个原子，分裂为3个能级；推广到N个原子，分裂为N个能级(能带）,作业：4.4；4.5；4.6,.,3-3紧束缚近似,原子轨道线性组合法LinearCombinationofAtomicOrbitalsLCAO,.,紧束缚近似是凝聚态理论中使用最广泛的模型,模型思想：电子在一个原子(格点)附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子势场的作用看作是微扰将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合（LCAO)，得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系,适合过渡金属中很重要的3d能带等，能带低而窄，壳层半径比晶格常数小得多。,.,1、单原子的束缚态（一维）,简记：,.,2、电子在晶格中的Schordinger方程,晶体的周期性势场_所有原子的势场之和,.,3、晶体中电子的波函数,被称为：原子轨道线性组合(LCAO)原因：电子在原子间隧穿，在各原子附近有出现的几率|am|2N个简并态的简并微扰。,波函数为的线性迭加,叠加系数,.,基本要求:(1)正交性：,(2)满足布洛赫定理：,3、晶体中电子的波函数,证明,.,4、微扰能量,H作用在(x)上:,.,简记为：,两边左乘：,4、微扰能量,.,J反映不同原子波函数的交迭情况,4、微扰能量,令：,.,4、微扰能量,.,.,当,采用紧近邻近似：,S波，各向同性，J(a)=J(-a),4、微扰能量,.,5、布里渊区,K的取值满足周期性边界条件：,晶格的周期性要求，相差到格矢的波矢等价：,n(k)是k的周期函数，可以限制在第一布里渊区,对确定的i,共有N个能级能带，i是带指标,.,6、原子能级与能带的对应,.,6、原子能级与能带的对应,一个原子能级i对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄能量较高的能级对应的能带较宽,.,7、能带的图示周期布里渊图式,.,7、能带的图示简约能区图式,对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性,.,7、能带的图示扩展能区图式,第一能带,第二能带,.,8、紧束缚近似（三维）,对球面波（s波）：,.,例：根据紧束缚近近似，写出简单立方晶格中原子S态形成的能带，并在空间中画出其等能面示意图。,分析：出发点是,找到最紧邻的原子,.,简单立方晶格紧近邻原子6个：,S波是各向同性的，所以J与方向无关,.,4-7能态密度和费米面,本节介绍等能面、态密度、费米面概念一、能态密度函数固体中，能量分布是准连续的，只能用态密度描述统计物理中的态密度自由电子气体的态空间空间中，态很密，但每个态要占据的体积是h,.,态密度：,对空间坐标积分：,体积元中的状态数：,.,自由电子：,非相对论性电子：,.,假定自由电子能量:态很密集固体中与k之间无简单的关系,.,能态密度的定义,在k空间：,常数,等能面EE+E间的状态数：,其中：,.,自由电子,因为：,所以：,等能面是k空间的球面：,.,.,二、费米面,在T=0k时，电子尽量占