10文理材力复习2ppt课件

材料力学,期末复习,2,梁的弯曲变形,挠曲线:弯曲变形后的梁的轴线,几个基本概念:,挠度:梁的横截面形心(梁轴上的点)在垂直梁轴方向的位移,转角:弯曲变形后横截面与变形前该面间的夹角,在给定的坐标轴下,梁上各点的挠度和转角都是x的函数,挠曲线方程,转角方程,3,挠曲线近似微分方程,而,对于弯曲小变形,转角和挠度都是很小的量,w=w(x),又,所以,考查,略去高阶小量,注意,4,用积分法求弯曲变形,第一次积分,第二次积分,如果EI=常数,5,例1.试用积分法求出如图悬臂梁的挠曲线方程,已知梁自由端作用一力偶M0,梁的EI=常数.,解:,先求支反力,取x段梁长进行平衡受力分析,建立坐标轴如图,由力矩平衡方程,挠曲线微分方程为:,由边界条件:,于是可有:,6,边界条件,解:求支反力,截面法列弯矩平衡方程:,例1.试用积分法求出如图均布载荷下悬臂梁的挠曲线方程,梁的EI=常数.,7,边界条件,自由端的转角和挠度:,8,例2.求图示悬臂梁挠曲线方程,已知梁的EI=常数.,解:,先求支反力,由力矩平衡方程,挠曲线微分方程为:,取x段梁长,受力分析,建立坐标轴,9,挠曲线微分方程为:,由边界条件:,于是可有:,最大转角及挠度:,10,例2.求均布载荷的简支梁的挠曲线方程和转角方程.EI=常数,解:,求支反力,截面法建立弯矩方程:,挠曲线微分方程:,边界条件:,于是便有:,11,12,例5.求力偶Me作用右端支座处的简支梁挠曲线方程和转角方程.EI=常数,解,求支反力,由力偶系平衡可得:,取x段梁长,建立坐标轴,挠曲线微分方程为:,由力矩平衡方程,13,由边界条件:,于是可有:,14,例3.求图示悬臂梁挠曲线方程及自由端的转角和挠度.EI=常数.,AC段内,对右端截面形心处取力矩平衡方程,边界条件:,由,由,AC段内方程为:,弯矩方程在整梁中分段,故挠曲线方程必分段表示.,15,CB段内,由,由,16,例4.习6.4(d)用积分法求简支梁的挠曲线方程.,解:建立坐标如图示,求支反力得:,截面法取受力对象如图,分别剪力AC、CB段内的弯矩方程.,若取右段分析,17,由,由,由,由,由(1)、(2)联立,18,整理后可得:,19,例5.求集中力F作用在中点处的简支梁挠曲线方程和转角方程.EI=常数,解:,由对称性,可知,由力矩平衡方程,挠曲线微分方程为:,取x段梁长,受力分析,建立坐标轴,由边界条件:,于是有:,20,弯矩方程:,挠曲线微分方程为:,由边界条件:,于是有:,21,用叠加法求弯曲变形,在小变形的前提下,挠曲线方程是线性微分方程.线性微分方程服从叠加原理,在这里的一个重要应用是:复杂载荷下方程的解是对应的有限简单载荷下解的叠加.就是说,当梁上有若干载荷同时作用时,可分别求出每一个载荷下单独引起的变形,把所得的变形叠加即得最终的结果.,一.载荷叠加法,二.逐段刚化求和法,在小变形的前提下,首先分别计算梁上分解的各段的变形在需求位移处引起的位移,然后叠加,即得最后的结果.在逐段分析中,除视所研究的梁段发生变形外,其余各段均视为刚体.,22,三.用叠加法求梁的转角和挠度,几个常用结构简单载荷下最大挠度和转角值,设梁长为l,EI=常数,23,例5.用叠加法求图示结构C点的挠度和C截面的转角.EI=常数.,由转角和挠曲线方程可得,24,例6.利用叠加法求图示梁的B端的挠度和转角.,25,习6.32.总重为W,长为3a的钢筋对称地放在宽为a的平台上.试求钢筋与平台的最大间隙.钢筋的EI为常量.,解:用叠加法,26,解:能弯成半圆形者,必为纯弯曲.,习6.26(p207)一端固定的板条截面尺寸为0.4mm6mm,将其弯成半圆形,试求力偶矩Me及最大的正应力max的数值.试问这种情况下,能否用=Mz/Wz计算应力?能否用计算变形?何故?,27,6.5简单超静定梁,基本知识点:1.静力平衡;2.变形协调及边界条件;3.叠加原理.,例10.求作图示超静定梁的弯矩图.已知EI=常数,解:,先求C处的支反力,28,29,补例.已知均布载荷梁由三个铰支座支承,求支座处约束力.梁的EI=常数,尺寸如图示.,解:该梁为一次超静定梁.,解除多余约束,将其化为静定结构,原结构C处:C=0,由叠加原理可得:,再由静力平衡方程式可求得:,30,31,补例.试求图示超静定梁A、B处的约束力.梁的尺寸和载荷如图示,EI=常数.,解:,再由静力学平衡方程可得:,32,例补.为保证悬臂梁AB的安全,用同样材料和同样截面的短梁在其下端加固.试求两梁在接触处C点的约束力.梁的尺寸和载荷如图示,EI=常数.,分别取二梁分析受力及变形.分析C点的挠度可知:,答:C处的约束力.,所以有:,33,习6.31.图示等截面梁,其抗弯刚度EI=常数.设梁下有一曲面y=-Ax3,欲使梁变形后恰与该曲面密合,且曲面不受压力.试问梁上加什么载荷?并确定载荷的大小及方向.,解:,由剪力和弯矩图可得梁上载荷,梁的B端作用一集中力和力偶.,方向如图示,由此可得剪力和弯矩图分别为:,34,表现一点应力状态的媒体单元体,单元体:表现一点应力状态的无限小的闭合多面体.一般取正六面体.,主平面:单元体上无切应力的平面称为主平面.,主应力:主平面上的正应力,称为主应力.,一点的应力状态,对于正六面体的单元体,至多有三对主应力.,如果有一对主应力不为零,称此点的应力状态为单向应力状态;如果有两对主应力不为零,称此点的应力状态为平面应力状态;如果三对主应力都不为零,称此点的应力状态为空间应力状态.,平面应力状态分析,35,任意一点平面应力状态下应力随截面的变化规律,36,任意两个互相垂直截面上应力的关系,对于任意一方向角为的截面上的应力,我们有,对于方向角为=+900的截面上的应力,我们有,对比后可得:,37,由,主应力和主平面,最大最小剪应力值.,1.平面应力状态下的任一点都存在两个互相正交的主平面.主平面上剪应力为零,正应力分别有极大值或极小值.2.主平面与最大最小剪应力平面相差450角.3.对于空间上的一个点来讲,平面应力状态下的自由面为应力为零的主平面.所以,一点的主应力总有三个:1、2、3,它们的大小按其代数量值排序.,38,上二式表明:如果x、y、xy给定,则、是角度的函数.,对(I)式,令,可求得的极值点0.,即有:,为(I)式的极值,而,恰说明,当为极值时,0角所对应截面上的剪应力为零.,关于主应力求解公式的由来,39,由,得,由三角公式,40,将下两式代入(I)式可得:,经过组合计算,可得最大最小主应力值.,41,由,可得上两个主应力平面法向与x轴正向的夹角,和,对于(II)式,即有,由此可得最大最小剪应力所在平面的角度,对比最大最小主应力所在平面的角度,显然有:,42,例1.在图示单元体中，试求给出截面上的应力.应力的单位是MPa.,解:,斜截面上的正应力与切应力如图所示.,单位:MPa,43,例2.一点的应力状态如图所示.试求其主应力并确定主平面的位置.,由图示可知,由,注意坐标轴取向,44,由,由上可确定主应力所在平面如上图中所示.,(参阅书上p219的另解),45,平面应力状态分析图解法(应力圆法),将(I)式改写为:,由于x、y、xy是已知量,(III)式是以、为变量的圆周方程.,对比,横座标轴为轴,纵座标轴为轴.圆心座标为,半径为,46,C,C点横座标:,半径:,47,例4.在图示的一点的应力状态下,试用解析法求:1)指定斜截面上的正应力和切应力;2)主应力,并确定主平面的位置并在图上表示;3)作出其应力圆.(应力单位:MPa),解:,48,2)求主应力,确定主平面的位置并在图上表示;,49,建立-直角坐标系,选定比例尺.,50,三向应力状态中的三个主应力,对受力体内一点的应力状态,最一般的情况是取正六面体的单元体来描述,并且三对平面上同时都有正应力和切应力.,前面我们已经知道,平面应力状态下的任一点都存在两个互相正交的主平面.主平面上,剪应力为零,正应力分别有极大值或极小值.同样的道理也适合空间一点的应力状态,即有:空间应力状态下的任一点都存在三个互相正交的主平面.主平面上剪应力为零,正应力分别有极大值、次大值和极小值.它们分别记为1、2、3,其大小按代数量值排序.,51,三向应力状态中最大剪应力.,作为应力空间的一个点,无论是处在单向应力状态、二向应力状态还是三向应力状态,最大剪应力的数值可统一写作.它发生在平行于方向的平面上,此平面法向与的方向成45角.,52,对于平面应力状态,面内最大剪应力不一定是此点的最大剪应力,A点处沿壁厚截面内最大剪应力,A点处最大剪应力,53,广义胡克定律,运用单向拉压下的胡克定律和泊松效应,和平面纯剪切下的胡克定律,我们可得到复杂应力状态下的广义胡克定律.,同理可有:,在各向同性材料及小变形的条件下,正应力产生正应变,剪应力产生剪应变.,54,对于平面应力状态,或者表达为,55,在受力点的主平面上只有正应力,则胡克定律用主应力表达为:,平面应力状态下,56,补充例题:图示一圆筒形薄壁容器,平均直径D=500mm,壁厚=10mm.在容器外表面某点的环向aa和轴向bb贴有电阻应变片.在筒内压强p的作用下,分别测得环向和轴向的线应变为:1=0.35103和0.10103.已知材料的常数为E=200109Pa,=0.25.试求筒壁内的轴向应力和环向应力,并求筒内压强p.,由广义胡克定律:,本题中,显然有:,整理可得:,联立求解可得:,57,一.四种常用的强度理论,最大拉应力理论(第一强度理论),无论什么应力状态下,只要最大拉应力达到材料的极限值,材料就会断裂.,材料的断裂准则是:,b:材料在单向应力状态下所测得的极限强度,1:材料在任何应力状态下所得到的最大拉应力.,将b除以安全因数可得许用应力,由第一强度理论建立的强度条件是:,58,第一强度理论的适用范围:,脆性材料,在有拉应力的状态下可用.,对无拉应力的状态(如单向、双向及三向压缩)则无法使用.,最大伸长线应变理论(第二强度理论),无论什么应力状态下,只要最大伸长应变1达到材料允许的极限值,材料就会断裂.,材料的断裂准则是:,b:材料在单向应力状态下所测得的极限强度,1:材料在任何应力状态下所得到的最大正应变.,59,由广义胡克定律可知:,将b除以安全因数可得许用应力,由第二强度理论建立的强度条件是:,上式就是用应力形式表示的最大伸长线应变理论.,第二强度理论的适用范围:,某些应力状态下的脆性材料.,60,最大切应力理论(第三强度理论),无论在什么应力状态下,只要最大切应力达到材料的屈服极限,材料就会发生破坏.,材料的破坏准则是:,s:材料在单向应力状态下所测得的屈服极限,max:材料在任何应力状态下所得到的最大切应力.,在单向应力状态下,在复杂应力状态下,第三强度理论用正应力的量值可表示成:,将s换成,由第三强度理论建立的强度条件是:,61,第三强度理论的适用范围:,简单及复杂应力状态下的塑性材料.,畸变能密度理论(第四强度理论),畸变能密度也称为“形状改变比能”,由前面的讲述我们已经知道,材料的应变能密度(也称为应变比能)由两部分组成:体积改变能密度和形状改变能密度.,其中,形状改变能密度:,理论和实践都可说明,体积改变能密度的大小不会影响材料的屈服,而形状改变能密度的大小是引起材料屈服的主要因素.,62,无论是什么应力状态,只要畸变能密度vd达到一极限值,材料就会屈服而失效.,在单向应力状态下,可测得材料的屈服极限为s,则其相应的畸变能密度为,在一般的应力状态下,弹性体所具有的畸变能密度为:,于是,材料的破坏判据为:,于是,第四强度理论叙述为:,63,将s除以安全因数可得许用应力,于是,按第四强度理论得到的材料的强度条件是:,第四强度理论的适用范围:,简单及复杂应力状态下的塑性材料.,64,我们可把四个强度理论的强度条件写成如下的统一形式:,r称为“相当应力”.显然有:,65,例1.图示某单元体的应力状态描述.(应力单位为MPa)试写出用四个强度理论的相当应力.设=0.33,t=30MPa,c=120MPa.,解:取坐标轴方向如图,各强度理论的相当应力:,即,66,67,例2.由Q235钢制成的蒸汽锅炉.壁厚=10mm,内径D=1m.蒸汽压力p=3MPa.已知材料的许用应力为=160MPa.试用第四强度理论校核其强度.,解:,由第四强度理论的相当应力,故材料的强度是安全的.,锅炉壁上任意一点主应力为,68,例3.由Q235钢制成的蒸汽锅炉.壁厚=10mm,内径D=1m.蒸汽压力p=3MPa.已知材料的许用应力为=160MPa.试用第三强度理论校核其强度.,解:,由第三强度理论的相当应力,故材料的强度是安全的.,(按第四强度理论计算的结果较符合实验结果,按第三强度理论计算的结果使校核偏于安全.),锅炉壁上任意一点主应力为,69,二.组合变形和叠加原理,前面我们学习了材料的基本变形:轴向拉伸与压缩、扭转、平面弯曲.,所谓结构的组合变形,就是上述基本变形的组合.基本变形是小变形(几何线性),而我们所研究的大多数的组合变形,其应力状态是基本变形应力状态的线性叠加.,研究组合变形的关键是如何将引起组合变形的外力,分解和简化成为基本变形的外载荷.,一般来讲,如果形变的几何方程和形变力的关系的物理方程都是线性方程,且各载荷下的应力变形关系是相互独立的,(原始尺寸理论适合于所有的基本变形)则可用叠加法求其组合变形.,拉、压与弯曲的组合,70,例4.图示钻床示意图中立柱为圆形截面,直径为d=122mm,设材料的许用应力为=35MPa.试确定工作面允许的纵向力F.,解:立柱为拉伸与弯曲组合变形,拉、弯的最大应力均在所示横截面上,由题意应有:,71,例5.小型压力机的铸铁框架如图示.已知材料的许用拉应力t=30MPa,许用压应力c=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的最大许可载荷F.,解:mm截面是危险截面,尺寸如图.,y轴是中性轴,72,轴向拉应力:,弯曲拉应力:,弯曲压应力:,铸铁框架内缘有最大拉应力,铸铁框架外缘有最大压应力,最大许可压力F为45kN.,73,扭转与弯曲的组合,弯扭组合是机械工程中最常见的应力及变形组合.齿轮系统在运行并传输动力的状态下,其受力及变形大都是弯扭组合.,圆轴弯扭组合变形,传动轴(黄)弯扭组合,74,弯扭组合的强度计算,试分析圆轴上面B点的应力状态,75,同样可有:,76,工程中,承受弯扭组合应力的传动轴应是塑性材料,一般用第三或第四强度理论分析其强度.,按第三强度理论,对于受弯扭组合作用的等截面圆轴,其应力最大值在弯矩最大截面的上下缘.,此处,按第四强度理论,77,例5.圆截面折杆受力如图示.(1)确定mm截面危险点的位置(2)按最大切应力理论写出确定折杆直径d的表达式.设材料的许用应力为.,解:,(1)mm截面的危险点如图示.,前、后两点的应力状态:,78,最危险的截面为D截面.,D处横截面上的扭矩:,D处横截面上的弯矩:,由圆截面轴弯扭组合的最大切应力理论公式:,79,例6.图示传动轴AB由电机带动.已知电机通过连轴器作用在截面A上的力偶M1=1kN.m,皮带紧边与松边的张力分别为2FN与FN.轴承C和B间的距离l=200mm,皮带轮的直径D=300mm,轴为钢制,其许用应力=160MPa.试按第四强度理论确定AB轴的直径.,由力平衡原理可得:,80,由力平衡原理可得:,扭矩T=M1=1000N.m,最大弯矩M=0.1FB=1000N.m.,81,扭矩T=M1=1000N.m,最大弯矩M=0.1FB=1000N.m.,按第四强度理论,轴AB的直径应取44mm.,82,例7.等截面实心圆轴在轴向拉伸和扭转的联合作用,如图示.已知圆轴的直径D=40mm.载荷P=8kN,M=0.1kNm.试用单元体描述圆轴表面一点A的应力状态,并求出最大最小主应力及其方向,绘出主应力作用下的单元体.并作该点的莫尔圆.(应力圆),解:,83,84,三.压杆稳定的概念,我们学习材料力学,大体是从三个方面来研究工程结构的力学特征:材料的强度,即应力问题;材料的刚度,即形变问题;结构的稳定性,即承载结构的稳定平衡问题.结构的失稳破坏是一瞬间的,非常严重的破坏.失稳破坏的指标通常比强度和刚度指标小.失稳破坏与结构的几何形状,载荷的作用方式等密切相关.,本章就两端受压的杆的稳定分析和计算作一介绍,以期同学们对结构稳定性的问题有一个初步的了解.,工程中的杆件受压的现象随处可见.压缩机的连杆和活塞杆,高压输电塔中的桁架构件,建筑结构中的立柱等.,当截面的尺寸与杆件的长度比小到某一值时,我们称这种杆件为细长杆.,细长杆受压时,表现了与材料的强度失效完全不同的性质.,85,两端铰支细长压杆的临界压力,压杆产生失稳,实际是微小的屈曲产生了弯矩,从而引起弯曲变形,而引起弯矩的力就是压力F.,取屈曲的压杆为研究对象,建立坐标如图,设距O点为x的任意截面的挠度为y,弯矩M的大小为Fy.,86,在上述坐标下,压杆的挠曲线微分方程为:,令,(振动方程型),通解为:,由边界条件:,得,从而,得,87,故应有,当n=1由临界压力最小值,此公式称为“两端铰支下的欧拉公式”.,88,两端铰支:,一端固定一端自由:,等效长度的概念,89,b.两端固定的压杆,拐点,c.一端固定一端铰接的压杆,90,用等效长度的概念,前面各种支承下的压杆稳定的临界压力公式欧拉公式可统一写成如下式子:,压杆的长度因数,91,欧拉公式的适用范围经验公式,压杆临界压力的欧拉公式的导出,起源于弯曲的挠曲线微分方程,而挠曲线微分方程是在材料为线弹性的条件下成立的微分方程,所以欧拉公式是在线弹性的条件下适用的公式.,将上式两边除以压杆的横截面A,则有临界应力公式:,设对中性轴的惯性半径为i,则横截面的惯性矩I=i2A,于是,92,上式是欧拉公式的应力形式,由于欧拉公式只能适合于材料在线弹性的变形范围内,故若临界应力crp,公式才有意义.,长细比控制了欧拉公式的适用范围.也就是说,当压杆的长细比未有足够大时,用欧拉公式得出的“失稳”的应力值会超过弹性极限.此时的临界压力或临界应力是错误的.,93,不同的材料,1的数值不同.如Q235#钢,E=206GPa,p=200MPa.,满足1的压杆我们称之为“大柔度压杆”.其失稳称为“弹性失稳”.,当1的压杆我们称之为“中小柔度压杆”.其失稳称为“非弹性失稳”.,非弹性失稳的问题涉及到塑性力学知识,其理论分析及计算都较复杂,这里从略.,在工程实际中,对中小柔度的压杆稳定计算,一般使用以试验结果为依据的所谓经验公式.,94,在此,介绍两种经常使用的经验公式:直线公式和抛物线公式.,直线公式:,式中的a和b是与材料性质有关的常数,几种材料直线公式中的系数a和b,95,当柔度很小的压杆,其失效已经没有稳定性的问题,而只有强度问题.,对于塑性材料,如果cr=s,则对应的柔度系数为2.,2是用直线公式的最小柔度值.,对于脆性材料,如果cr=b,则对应的最小柔度系数是:,综上所述,若求压杆的临界压力或应力,需知其柔度.,当1,用欧拉公式,当12,用直线公式,当2,用材料的强度准则.,96,cr=a-b,cr=s,此图反映了临界应力cr随压杆的柔度系数的变化,称为临界应力总图.,97,例7.(书