广义函数（分布）的形成及在分析学中的影响

广义函数（分布）的形成及在分析学中的影响,1945年Laurent Schwartz的论文“函数概念、微分和Fourier变换的推广及其在数学和物理学中的应用”提出了广义函数（分布distributions）推广了普通函数（分析上的函数）并于1951年写了专著分布论（Thorie de distribution）。现已成为数学中经典著作之一。它使分析学和许多分支得到了改造。 在1950年波士顿国际数学家大会上，L.Schwartz因分布理论而获得了菲尔兹奖，这也许是第一次，同时很可能也是最后一次，一种软数学并不是因解决了某个著名难题而获得这一奖励。评奖委员会毕竟显示了引人注目的远见卓识。 为什么会在那时候提出这样一个新的理论？我们分两方面来叙述。首先在物理学中，产生了一些“新”的函数，它符合物理上的规律，并且物理学也需要一类“新”函数，它的各种运算如微分、极限交换突破原来分析上太多条件限制。首先物理学,家Dirac为了研究量子力学定义了 （现在称为函数） ， ，且 其中 （表示无限次连续可微且有有限支集的函数），支集是指函数不等于0的点集的闭包。它在量子力学中起很大作用，但是当时数学家无法解释这个函数，但是在物理上它是很自然的 。设在实数轴上给定了一个质量分布（它的总质量是有限的），我们 用表示区间 上的质量，由于 是区间 的质量，当 在 导数存在时， 表示这个质量分布在这点 的密度，这样质量分布密度函,数 是在 存在的点有意义。如果在整个直线上只是在原点有一质量单位，从物理意义上看它显然在 处密度 为0，而在 处密度为0， 就是函数 的物理意义。从上式可知 而且物理学家在研究量子力学时认为这是因为,但是当时的数学知识认为上式是没有极限的，所以当时数学家称 为是病态函数。 物理学家与工程师们希望有这样一种“新”的函数，有着许多好的性质，且包容原来的普通函数 这类“新”函数应有以下的性质： （1）原来的连续函数与可积函数都是“新”函数中的一点 （2）每一个新函数应该具有任意次偏导数，而且偏导数也是新函数，且对于可微函数，导数的新概念应该与原来一致（因而新函数是无穷次可微）； （3）运算的通常规则应成立，如 等等； （4）应该 提供某些收敛定理，使之足以处理通常的极限过程，但是要比分析中收敛定理要宽，如使,成立。 另外当时数学的发展也为建立这种新的函数打下了数学方面的基础。在1936年，苏联数学家提出了普通函数的任意阶偏导数的定义，若定义：设 ，若满足则称 ，其中 表示支集在 的无穷次连续可微函数全体。,表示中局部勒贝格可积函数全体，局部是指对任 ，函数 。 从这普通函数的广义导数定义看，它是一种新的函数，不象原来求导且一次次求上去，而是不知道低阶导数是否存在，就可以直接定义高阶导数。这为定义新的函数的偏导数打下了基础。 Weyl（1940）在考虑弱解时，证明了弱调和函数是调和的。下面我们解释一下 这结果，先考虑一个非齐Laplace方程若 则我们把上式两边乘以 就知,再把上式左端分不积分两次，我们就得到上式中只要 勒贝格可积就可以了，这样我们就定义非齐次Laplace方程的弱解，若 且满足上式那么就称是的弱解。 Weyl 证明了若 则上述弱解只须在它的定义域的零测集上校正一下它的值等于一个 函数等等一些工作，都是在数学理论上面为造新函数做的准备工作 Schwartz 分布的主要思想是：多自变量 的可积函数 导致了定义在无穷可微且具有紧支集的函数 的空间 上线形泛函,而这类线形泛函称为分布，它们比普通函数要广泛的多，例如前面Dirac函数（测度）我们知道这也是一个线形泛函，而且在某种意义下是连续的。但仍如函数那样可以局部化并具有支集，要做到这一点，可以用下式定义一个分布和一个函数 的乘积若对于支集在某一开集中所有 都有 则称 在 中 为0，从这一概念出发，容易引出分布的支 集的概念和具有紧支集的分布空间。这样作为历来称为试验函数的空间使我们有可能将分布微分任意次,根据 Schwartz 采用的记号, 表示试验函数空间 , 表示分布空间, 表示具有紧支集的分布的子空间。从上述定义可以看出这分布满足物理学家对新函数的要求，而分布的偏导数定义也与的普通偏导数（广义偏导数）如出一辙。从上述分布定义可知，分布作为新函数与原函数不同之处在于原来函数是 的对应，分布是 的对应。即分布已不是点的函数，这也符合物理意义的。例如我们考虑一维的温度分 布用表示。 新理论的功绩之一是为具无穷可微系统的偏 微分算子 的基本解 的概念给出一个精彩的定义，这个偏微分算子的伴随算子为 ，定义要求 。,如果使用Schwartz起先禁止使用但后来被采纳的一个更加自由的记号，就可写为在此， 现已被写为一个函数 。 开始时，Schwatz曾将分布 的连续性描述如下：当 的支集在一个固定的紧集中，且其各阶导数一致趋向于零时， 趋向于零。不过，为一个线性拓扑给出一个导致适当半范数的定义差不多是同样方便的；对于每一紧集 ，存在一常数 和一整数 ，使得对每个 ，成立利用这一定义和F.Riesz关于作为测度的连续函数的线性泛,的公式以及HahnBanach定理，就可立即证明一个结构性定理：每个分布在局部上都是测度 的导数的和 ，而当 的支集为一点 时，作为特例。可知 是用Dirac分布 表示的 处单位测度的导数的有限和。 试验函数的平移 可以转用于分布， 是的无限可微函数。分布与试验函数 的卷积是无限可微函数：,让 趋向于Dirac测度，即让supp 趋向于0而保持 时，上述卷积函数弱趋向于 ，用无限可微函数来作弱逼近，从而有可能使一个分布正则化。 Schwatz和变换的处理基于下述事实：经典Fourier变换F，是其一切导数都以 为界（其中 为任一整数）的缓增函数空间 的一个同构。取合适的半范数使 成为一个Frechet空间。于是,Fourier变换借助于公式作用在缓增分布的对偶空间 上。Wiener（1926）、Bochner（1932）和Carleman（1944）在此之前或在,与此同时曾做出努力将变换推广到不可积的情况，而让Fourier变换作用缓增分布的简单想法则更加优越。此外，对于由 的每一个导数均最多为多项式增长定义的适度增长的无限可微函数的空间来说，空间 显然是一个模。因此， 也具有同样的性质，这就使我们有可能如下定义缓增分布上的算子就概念而言，与早些时候做出的努力相比，这是一个巨大的进步。例如Heaviside（1893）、Wiener（1926）和Bochner（1932）就曾经定义过形如 的算子，其中并不是一个多项式。不过，分布理论的最重要的贡献也是，它将分析从绝对平方可积的禁锢下解放出来。,在战前，传统的研究方法，如Titchmarsh关于Fourier积分的著作(1937)和Zygmund的三角级数(1935)，都局限于绝对平方可积的函数。Schwartz将定理推广到具有紧支集或锥支集的环增分布上，从而拓展了Laplace变换的范围。 Schwartz的著作涉及到上述概念的理论，也涉及到所包含的线性空间的精确定义。就应用来说，Dirac函数被视为一个测度，且例如说，证明了：对非负函数为非负的分布是一个非负测度：调和分布实际上是实解析函数，这一结果很可能还可以推广到具有解析系数的椭圆型方程组上去；以及由Hadamard和M.Riesz计算过的二阶双曲型方程的解实际上是分布；等等。这些应用尚不能符合这一理论的宏伟目标，人们可以得到这样的印象：作者将心思放到线性拓扑空间上，而不是着重于分析学问题。不过，将抽象的线性理论应用于分析学，分布理论算得上是向前迈出了一大步，相比之下，先前进行的研究（有些载于Bnach的著作，其它则散见于文献中）都似乎有些不着边际。,这一理论的取得初步成功，应当归功于Laurent Schwartz的热心推销，归功于他对分布重要性的坚定信念，归功于他战后在许多欧洲国家所做出的热情洋溢的演讲。1946-1947在普林斯顿大学数学系分布理论在数学圣地被引入。那时，这个地方的主要研究课题是拓扑学和代数学，Claud Chevalley首先作了一次介绍性的讲演，随后由从南锡来的法国访问学者Jean Delsarte给出一系列的讲座，听众只有两个人。 那时，数学家们对分布理论的态度可谓是相当的冷淡，有时甚至带着几分敌意。一些老式学派的分析学家可以开玩笑说：“你的分布也许不错，但只有在找到一个函数时你才会真正放下心来”写了一篇关于分布论的评论文章，其结尾加了沉闷而有点挖苦的一段话：“对一切我们已经作了原原本本的陈述，其目的在于表明：要弄清楚这本书中哪些一般性创新,就是属于分析性的甚至是概念性的，那可不是一件易事。我们在上面抄录了其中的一些段落，目的就是想用具体的结果来对这本书做出评价；为此，还是请作者高抬贵手，拿出更多的东西来吧。”擅长调和分析的瑞典数学家Arne