数学建模《数学模型》ppt课件

.,1,第二章数学建模初步,2.1数学模型与数学建模2.2数学建模的步骤和方法2.3数学建模实例分析2.4数学模型的特点和分类2.5数学建模的学习方法与数学建模竞赛简介,.,2,玩具、照片、飞机模型,直观模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,2.1数学模型与数学建模,我们常见的模型,.,3,你碰到过的数学模型“行程问题”,解：设甲、乙速度分别为x、y，列出方程组：,答：甲速为86米/分，乙速为74米/分.,A、B两地相距960米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发。若相向行走，6分钟相遇；若同向行走，80分钟甲追上乙。问甲、乙速度各为多少?,x=86y=74,.,4,行程问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（甲、乙速度为常数）；,用符号表示有关量（x,y表示甲速和乙速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程组）；,求解得到数学解答（x=86,y=74）；,回答原问题（甲速为86米/分，乙速为74米/分）。,.,5,数学模型(MathematicalModel),建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）,对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模（MathematicalModeling),.,6,2.2.1数学建模的基本步骤,2.2数学建模的步骤与方法,.,7,2.2.2数学建模方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,综合分析,用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数,.,8,2.3数学建模示例,2.3.1方桌问题,模型假设,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续面;,把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，就放稳了。为什么？,.,9,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C两脚与地面距离之和f(),B,D两脚与地面距离之和g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,.,10,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,.,11,模型求解,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)p2/n2，对不公平,A,p1/n1p2/n2=5,.,17,公平分配方案应使rA,rB尽量小,设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B?,不妨设分配开始时p1/n1p2/n2，即对A不公平.,对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“公平”分配方法,若p1/n1p2/n2，定义,.,18,1）若p1/(n1+1)p2/n2，,则这席应给A,2）若p1/(n1+1)p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1,n2),应计算rA(n1,n2+1),若rB(n1+1,n2)p2/n2,问：,p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给B,“公平”分配方法,.,19,当rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给A,该席给A,否则,该席给B,推广到m方分配席位,计算,该席给Q值最大的一方,Q值方法,“公平”分配方法,.,20,三系用Q值方法重新分配21个席位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,Q2,Q3同上,Q3最大，第21席给丙系,甲系11席,乙系6席,丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,.,21,模型的公理化研究,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的公理(1974),份额qi=Npi/P,分配名额ni=ni(N,p1,pm),已知p1,p2,pm,P,N,1)qiniqi+1(i=1,2,m)公平分配性,2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)名额单调性,.,22,“比例加惯例”方法满足公理1，但不满足公理2.,Q值方法满足公理2,但不满足公理1（如下例）.,模型的公理化研究,不存在满足上述公理的席位分配方法(1982),.,23,公平的席位分配,建立“公平分配席位”模型的关键是建立衡量公平程度的数量指标.,在以相对不公平度为衡量指标的前提下,Q值方法比“比例加惯例”方法更加公平.,如果采用公理化方法提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未解决已证明不存在满足一组公理的席位分配方法.,.,24,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,2.3.3人口发展问题,.,25,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),中学数学思想,x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率r是常数,今年人口x0,年增长率r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,?,.,26,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,.,27,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),.,28,参数估计,用阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合（用MATLAB软件）,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型,.,29,模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),令t=2000，r=0.2557,xm=392.1,相对误差为2.5%,.,30,例商人们怎样安全过河?,问题(智力游戏),3名商人3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人抢货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,.,31,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)u+v=1,2允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,.,32,模型求解,穷举法编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,d1,，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,.,33,应用领域,人口、交通、经济、生态,数学方法,初等数学、微分方程、几何、统计,表现特性,优化、预报、决策,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,2.4数学模型的分类,.,34,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模的具体应用,预报与决策,控制与优化,2.5数学建模的学习方法与数学建模竞赛,2.5.1数学建模的重要意义,.,35,2.5.2数学建模的学习方法,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,.,36,美国MCM竞赛规模,.,37,我国CUMCM竞赛规模,.,38,学生欢迎：“一次参赛，终身受益”研究生导师们的认同企业界的认同赞助教育改革同行的认同：“成功范例”国际同行的认同,竞赛的反响,.,39,IBM中国研究中心-招聘条件Positiontitle:BusinessOptimization(BJ)1Backgroundinindustrialengineering,operationsresearch,mathematics,ArtificialIntelligence,managementscienceetc.2.Knowledgeinnetworkdesign,jobsc