2019 08 01 方法精讲-数量3 高照

方法精讲-数量 3 主讲教师：高照 授课时间：2019.08.01 粉笔公考官方微信 1 方法精讲方法精讲- -数量数量 3 3（笔记（笔记） 学习任务： 1.课程内容：经济利润问题、几何问题、容斥原理。 2.授课时长：3 小时。 3.对应讲义：175 页182 页。 4.重点内容： （1）掌握与成本、利润、折扣相关的公式，能准确地计算分段计费问题。 （2）掌握经济统筹问题，验证各个方案，寻找最佳/最省钱方案。 （3）熟练掌握常用的几何公式、常用三角函数以及勾股定理。 （4）掌握常考的几何结论，以及相似三角形和最短路径的解题技巧。 （5） 掌握常考的容斥原理公式，以及公式的应用条件。 第六节 经济利润问题 【知识点】经济利润： 1.公式： （1）利润=售价-成本。 （2）利润率=利润/成本。 （3）售价=成本*（1+利润率） 。 （4）折扣=售价/原价；定价*折扣=售价，9 折相当于 0.9。 （5）总价=单价*数量；总利润=单个利润*数量=总收入-总成本。 例如：老师进货进价 5 元，定价 1000 元，售价 1000 元，利润 995 元，利润 率 995/5；老师进货进价 5 元，定价 1000 元，售价 100 元，利润 95 元，利润率 95/5。 2.引例： （1）例 1：我花 10 块钱买了一辆法拉利，期望获利 20%，求售价。 答：售价=10*（1+20%）=12 元。 （2）例 2：我以 12 块钱卖出了一辆法拉利，获得了 20%的利润，求成本。 2 答：根据售价=成本*（1+利润率） ，代入数据：12=成本*（1+20%） ，因此成 本=10 元。 【例 1】 （2018 浙江）某商品按定价出售，每个可获得 60 元的利润。按定价 打八折出售 10 个所获得的利润，与按定价每个减价 30 元出售 15 个所获得的利 润相同。该商品的定价为多少元？ A.75 B.80 C.85 D.90 【解析】 例 1.有成本、 定价、 售价、 利润、 数量， 可以采用列表法。 设定价、 售价为 x，利润为 60，则成本为 x-60。情况 1：成本为 x-60，定价为 x，售价为 0.8x，利润为 60-0.2x，数量为 10 个；情况 2：成本为 x-60，定价为 x，售价为 x-30，利润为 30，数量为 15 个。根据题意列式： （60-0.2x）*10=30*15，解得 x=75，对应 A 项。 【选 A】 【例 2】 （2018 北京）某水果批发商从果农那里以 10 元/公斤的价格购买了 一批芒果，运送到某地区售出。在长途运输过程中有 5%的芒果磕碰受损和另外 5%的芒果过度成熟，因此无法卖出，其余部分以 25 元/公斤的价格售出后，如果 不计运输等其他费用，这批芒果赚得利润 12000 元。则该批发商从果农那里购买 了多少公斤芒果？ A.480 B.800 C.960 D.1000 【解析】例 2.根据题意：5%受损和 5%过度成熟无法出售，实际 10%部分为 亏损部分。设总量为 10 x，售出部分为 9x，亏损部分为 x。 方法一：总利润=赚钱部分-亏损部分=（25-10）*9x-10 x*10=12000，约分得 125x=12000，解得：x=12000/125=96，购买的芒果=10 x=960，对应 C 项。 方法二：总利润=总收入-总成本=25*9x-10*10 x=12000，解得 x=96，则购买 的芒果=10 x=960，对应 C 项。 【选 C】 【例 3】 （2019 四川）某助农项目从农民手中以 1 元/斤的价格收购一批芒 3 果，通过网络平台销售，定价 30 元/10 斤包邮，售出芒果的 60%后调价为 35 元 /10 斤，售完全部芒果的总收入比调价前预计的多 20 万元。问这批芒果总重量 为多少吨？ A.50 B.100 C.500 D.1000 【解析】例 3.1 吨=1000 千克=2000 斤。 方法一：根据题意：调价后每 10 斤多赚 5 元，要想多赚 20 万元，则需要多 卖 40 万斤， 40 万斤对应 40%， 则 100%为 100 万斤， 100 万斤=500 吨， 对应 C 项。 方法二：10 斤多赚 5 元，则每 1 斤多赚 0.5 元，要想多赚 20 万元，设需要 x 斤，列式：0.5x=20 万元，解得 x=40 万斤，40 万斤是售出 60%后剩下的 40%多 赚的部分，因此总量 100%应为 100 万斤=500 吨，对应 C 项。 【选 C】 【例 4】 （2019 安徽）某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为 15 万 元/个；第二次开盘时，车位的销售量增加了一倍、销售额增加了 60%。那么，第 二次开盘的车位平均价格为： A.10 万元/个 B.11 万元/个 C.12 万元/个 D.13 万元/个 【解析】例 4.根据题意：设第一次销量为 1 个，第一次平均价位 15 万，销 售额为 15 万；第二次销量为 2 个，第二次销售额为 15*（1+60%）=15*1.6=24， 则第二次平均价位=24/2=12 万/个，对应 C 项。 【选 C】 4 【知识点】1.合分比定理： （1）A/B=C/D=（AC）/（BD）=（A-C）/（B-D） ，加减：是为了消未知 数。 （2）例如： （x+15）/85=（x+24）/100，求 x。 方法一： （x+15）*100=（x+24）*85，化简： （x+15）*20=（x+24）*17，计 算较繁琐。 方法二：根据 A/B=C/D=（A-C）/（B-D） ，可得： （x+15）/85=9/15=3/5。 即（x+24）/100=60/100，其中 x+24=60，解得：x=36。 2.10%-8%=2 个百分点，百分点是通过百分号做加减得到的。 【例 5】 （2015 江苏）某商品今年的成本比去年减少 15%，由于售价不变，利 润率比去年增加了 24 个百分点，则该商品去年的利润率为： A.24% B.30% C.36% D.42% 【解析】例 5.给比例求比例，考虑赋值法。成本有去年和今年之分，根据题 意：赋值去年成本 100，今年成本为 85，设全年的利润为 x，售价不变，则今年 的利润为 15+x。根据“利润率比去年增加了 24 个百分点” ，说明今年利润率-去 年利润率=24%。 列式：（x+15） /85=x/100+24/100=9/15=3/5， 即 （x+24） /100=60/100， 解得 x=36，对应 C 项。 【选 C】 【注意】当成本为 100 时，利润为 x；当成本变为 85 时，利润变为 x+15。 因此当成本下降 15，售价不变，利润会上升 15 元。 【答案汇总】1-5：ACCCC 【知识点】分段计价（节能减排） ： 1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费不等。问：在不同收费标准 下，一共需要的费用？ 2.计算方法： 5 （1）按标准，分开。 （2）计算后，汇总。 3.例：某地出租车收费标准为：3 公里内 8 元，超出 3 公里，每公里 2 元， 高老师坐车走了 10 公里，共花费多少钱？ 答：画图法，03 公里收费 8 元，往后每公里收费 2 元/公里，则花费 =8+7*2=22 元。 【注意】国考和山东省考关系：山东省考出偏题的情况很少。例如某年国考 考一题多位数问题的代入排除法，考人数的情况，山东数都没变就是把人换成零 件重新考了一遍，因此国考是山东省考的风向标，建议山东题做 510 遍，国考 题刷 5 遍。 【例 6】 （2018 江西）为了节约水资源，某城市规定每人每月不超过 5 吨， 则按 2.5 元/吨收费；超出 5 吨的，超出部分按 4 元/吨收费，每次收费时用水量 都按整数计算，已知胡家 3 口人，熊家 4 口人。某月月底结算时，胡家收费 69.5 元，比熊家多交了 15.5 元。那么，熊家该月用了多少吨水？ A.20 B.21 C.22 D.23 【解析】例 6.分段计费问题用画图法，根据题意：05 吨按 2.5 元/吨收 费，超出 5 吨按 4 元/吨收费。熊家金额=69.5-15.5=54 元，4 口人，假设每人用 5 吨水，共花费=4*2.5*5=50 元，剩余 4 元部分为 1 吨，则熊家水 1+20=21 吨。 【选 B】 6 【注意】分段计费问题题型再复杂不要怕，只要用画图法解题即可。 【知识点】费用统筹问题：寻找最优方案。用最少的钱，办最大的事。代入 自身环境，当自己的钱去花费。 【例 7】 （2018 江西）某自助餐饮店推出了两种自助方案：甲方案成人每人 90 元，小孩每人 60 元；乙方案无论大人小孩，每人均为 70 元。现有 m 人组团 就餐，并规定 1 个大人至多带 2 个小孩就餐。那么，对于这些顾客来说： A.只要选择甲方案都不会吃亏 B.甲方案总是比乙方案更优惠 C.只要选择乙方案都不会吃亏 D.甲方案和乙方案一样优惠 【解析】例 7.方法一：一个大人：甲方案花费 90，乙方案花费 70，A、B、 D 项均不满足，排除。 方法二：一大带一小：甲方案花费=90+60=150 元，乙方案花费=70+70=140 元，排除 A、B、C 项。 【选 C】 【答案汇总】6-7：BC 7 【小结】经济利润（整个模块都是重点） ： 1.基础经济： （1）公式： 利润=售价-成本。 利润率=利润/成本。 折扣=折后价/折前价。 总价=单价*个数。 （2）方法：方程法、赋值法。 2.分段计费： （1）水电费、出租车费、税费。 （2）分段计算、汇总求和。 3.花费统筹：寻找最优方案。 【注意】作业：经济利润问题刷 50 题，并做好总结。 第七节 几何问题 【知识点】几何问题： 1.公式类。 2.结论类。 8 3.技巧类。 【知识点】1.几何公式： （1）周长： 正方形：4a；长方形：2（a+b） 。 圆形：2R；弧长：2R*（n/360） （n占 360的比例周长） 。 （2）面积： 9 正方形：a；长方形：ab。 三角形：ah/2；圆形：R；扇形：R*（n/360） 。 梯形： （a+b）*h/2；菱形：对角线乘积/2。 （3）表面积： 正方体：6a；长方体：2（ab+bc+ac） 。 圆柱体：2R+2Rh；球体：4R。 （4）体积： 10 正方体：a；长方体：abc。 柱体：Sh；锥体： （1/3）*Sh（无论棱锥或圆锥） ；球体： （4/3）*R。 2.勾股定理：直角三角形中。 （1）考点：a+b=c。 （2）结论 1：常用勾股数： （3、4、5） ， （6、8、10） ， （5、12、13） ，后面两 组周长=面积，第二组和均为 24，第三组和均为 30。 （3）结论 2： 30、 60、 90： 短直角边是斜边的一半； 长直角边是短直角边的3倍。 45、45、90：斜边是直角边的2倍。 3.正六边形： （1）每条边相等。 （2）每个内角 120。 （3）由 6 个等边三角形构成。 （4）行程问题：一个人走路每条边是 50，走了 10 条边，问终点和起点的直 11 线距离是多少？ 答：画图，求 AB 直线距离。AC=50，CAD=30，则 CD=25，根据勾股定理 AD=253，即 AB=503。 【拓展 1】若一直角三角形的周长与面积的数值相等，且两直角边长之和为 14，则该三角形的面积是（ ） 。 A.20 B.24 C.12 D.6.2 【解析】 拓展 1.周长与面积的数值相等且是直角三角形边长可能是 （6、 8、 10） ， （5、12、13） ，其中（6、8、10）两条直角边之和 14，该三角形面积为 24。 【选 B】 【注意】常规做法：a+b+c=1/2*ab，a+b=14，a+b=c，解方程较麻 烦。 【拓展 2】一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三 角形的： A.2倍 B.1.5 倍 C. 3倍 D.2 倍 12 【解析】 拓展 2.画图法， 根据题意： 周长相等， 则可赋值正三角形边长为 2， 正六边形边长为 1，正三角形可分割为 4 个边长为 1 的三角形，正六边形可分割 为 6 个边长为 1 的正三角形。则面积之比=6/4=1.5 倍，对应 B 项。 【选 B】 【例 1】（2019 安徽） 太阳高度角是太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。 在正午时，太阳高度角为 90-|-|，为纬度，为太阳赤纬。已知小陈的 身高为 180 厘米，他所在地的纬度为 43，当日太阳赤纬为 13。那么，在正 午时他的影子长度约为： A.60 厘米 B.90 厘米 C.104 厘米 D.208 厘米 【解析】 例 1.根据题意： 太阳高度角=90-|43-13|=60。 说明太阳光 射入与地面形成的夹角为 60。根据“长直角边是短直角边的3倍” ，可知短直 角边=180/3。不可能是 180/3=60，排除 A 项，也不可能是 180/2=90，排除 B 项，不可能比 180 大，排除 D 项。 【选 C】 【注意】 有的同学感觉数字敏感性差时， 可以在老师微博中找 “50 天速算” 练习；或者背圆周率。 13 【例 2】 （2019 吉林甲）一个圆形，半径变为原来的 4 倍之后的圆的面积， 等于半径增加 2 厘米之后的面积的 4 倍，则原来的半径是： A.1 厘米 B.2 厘米 C.3 厘米 D.4 厘米 【解析】例 2.设原来半径为 r，半径变为 4 倍后为 4r，面积变为（4r） ；半径增加 2 厘米即半径变为 r+2，面积变为（r+2）。根据题意列式： （4r）=4（r+2），整理得：4r=（r+2）。 方法一：代入法：A 项：4*1（1+2）=3，排除；B 项：4*2=4*4=（2+2） =4，满足题意。 方法二：根据题意：4r=（2r）=（r+2），说明 2r=r+2，解得 r=2，对应 B 项。 【选 B】 【例 3】 （2018 北京）本题图中，左边的图形每个小圆的面积为，那么右 边图形中阴影部分面积为： 14 A.8 B.64-16 C.4+8 D.20 【解析】例 3.正面不好求可以考虑反向求解。阴影面积=S 正-S圆=8*8-4 =64-16，对应 B 项。 【选 B】 【注意】如果知道答案=正方形面积不带-圆的面积带，只有 B 项满足。 【例 4】 （2019 广东县级）某小区规划建设一块边长为 10 米的正方形绿地。 如图所示，以绿地的 2 个顶点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不 同的区域。小区现准备在图中阴影部分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为多少平方米？ A.100-25 B.200-35 C.200-50 D.100-100 【解析】 例 4.阴影面积直接求不好求， 可以考虑割补平移， 根据图形=， 则有：+=+=S正-S扇=100-（1/4）*10=100-25。 【选 A】 【知识点】S=1/2*底*高。 1.底相等，高相等，三角形面积相等。 2.底相同，面积之比等于高之比。 3.例如：S1=1/2*底*高1，S2=1/2*底*高2，则有 S1/S2=高1/高2。 【注意】h 为顶点到底的高。在ABC 中，如果以 BC 为底，则 AH 为高。 15 【例 5】 （2016 联考）如下图，正方形 ABCD 边长为 10 厘米，一只小蚂蚁 E 从 A 点出发匀速移动，沿边 AB，BC，CD 前往 D 点。问哪个图形能反映三角形 AED 的面积与时间的关系？ A. B. C. D. 【解析】例 5.观察 A、B、C 项图形，中间部分都有一定的关系，蚂蚁到达 B、H（BC 中点） 、C 点时，同底同高，即蚂蚁在 BC 行走时面积一定是不变的，对 应 A 项。 【选 A】 16 【答案汇总】1-5：CBBAA 【例 6】 （2017 广东）如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形 的小草坪组成。已知四边形草坪的面积为 480 平方米，其中两个小三角形草坪的 面积分别为 70 平方米和 90 平方米， 则四块三角形小草坪中最大的一块面积为多 少平方米？ A.120 B.150 C.180 D.210 【解析】例 6.由题意得：480-70-90=480-160=320。 方法一：如果没有时间做，直接蒙。剩下两个三角形面积不相等，则有一个 三角形面积肯定大于 320/2=160，排除 A、B 项，C 项：如果大三角形的面积为 180，则小三角形面积为 140；D 项：如果大三角形的面积为 210，则小三角形的 面积为 110，两个三角形的面积不可能是 2 倍关系，排除 D 项，对应 C 项。 17 方法二：ACD 和CED 同底（DC） ，面积之比=高之比，即高之比=7/9， ABD 和BED 同底（BD） ，高之比=7/9，则 S3/S4=7/9，S3+S4=16 份，16 份=320，则 1 份=20，S4=20*9=180，对应 C 项。 【选 C】 【注意】1.h 为顶点到底边的垂线。 2.当计算出 S3/S4=7/9 时，S4一定是 9 的倍数，排除 A、B、D 项，选择 C 项。 3.考试时的图形一定是符合比例的。 4.对选项要有气势，要勇敢，不要纠结。 【知识点】相似三角形： 1.判定：两个角相等，则三角形相似。 2.结论： （1） 对应边成比例。 比如图中两个三角形相似， 左边三角形的一条边为 1， 右边三角形对应的相似边为 2，成 2 倍关系，左边三角形的底边为 5，则右边三 角形的底边为 10。 18 （2）面积之比=边长之比的平方。假设边之比为 1：2，则面积之比=1：4。 推导： 在高中时学过， S=1/2*a*b*sinc， S1=1/2*a1*b1*sinc， S2=1/2*a2*b2*sinc， S1/S2=（a1/a2）*（b1/b2） ，a1/a2与 b1/b2都是边之比，即 1/n，则 S1/S2=1/n。 【例 7】 （2017 河南）一块三角形农田 ABC（如下图所示）被 DE、EF 两条道 路分成三块。已知 BD=2AD，CE=2AE，CF=2BF，则三角形 ADE、三角形 CEF 和四边 形 BDEF 的面积之比为： A.1：3：3 B.1：3：4 C.1：4：4 D.1：4：5 【解析】例 7.已知 BD=2AD，CE=2AE，ADEEFC，边长之比=1：2，则面 积之比=SADE：SEFC=1：4，排除 A、B 项；要求 S四边形 BDEF，正面不会求，反向求解， ADEABC，AB=3AD，边长之比=1：3，面积之比=SADE：SABC=1：9，则 S四边形 BDEF=9-1-4=4。SADE：SEFC：S四边形 BDEF=1：4：4，对应 C 项。 【选 C】 【注意】 如果没有时间做， 可以猜， SADE与 SEFC差不多是 4 倍关系， 排除 A、 B 项，再在 C、D 项中蒙。 19 【知识点】最短路径： 1.点到点直接连（两点之间线段最短） 。 2.点到线做对称。假设在高照老师家（A 点）和自己家（B 点）之间要建一 个公交站点，要使 A 点和 B 点到公交站的距离最短，A 点关于直线做对称，对称 点为 A ，连接 AB，交直线于 H 点，问 AH+HB，AH+HB=AH+HB=AB，AB 为 最短距离。同理也可以给 B 点做对称，最短距离的点是确定的。 【例 8】（2017 江苏）某市规划建设的 4 个小区，分别位于直角梯形 ABCD 的 4 个顶点处（如图），AD=4 千米，CD=BC=12 千米。欲在 CD 上选一点 S 建幼儿 园，使其与 4 个小区的直线距离之和为最小，则 S 与 C 的距离是： 20 A.3 千米 B.4 千米 C.6 千米 D.9 千米 【解析】例 8.最小距离=SA+SB+SC+SD，其中 SD+SC=CD=12，只需要找 SA+SB 最短，做对称。做 A 点关于 CD 线段的对称点 A ，连接 AB 点，与 CD 段交于 S 点，观察图形，S 点距离 D 点较近，距离 C 点较远，即 SCSD，则 SC6，排除 A、B、C 项，对应 D 项。或者计算，SDASCB，SD：SC=1：3，4 份=12， 则 1 份=3，SC=3*3=9，对应 D 项。 【选 D】 【答案汇总】6-8：CCD 21 【小结】高频几何： 1.公式类： （1）规则图形直接用公式。 （2）不规则图形转化为规则图形再用公式。 2.结论类：面积的比例，底相等则面积与高成正比。 3.技巧类： （1）相似三角形： 对应边长比、高度比均等于相似比。 面积比等于相似比的平方。 （2）最短路径： 平面反射：镜面对称再连线。 立体表面：展开成平面再连线。如有一个圆柱体，蚂蚁从 A 点到 B 点，求 A 点到 B 点的最短距离，先把立体图形展开，再连接 AB，即为最短距离。 22 第八节 容斥原理 【注意】参加山东省考的外地人很少，大家都一样，要有信心。 【知识点】容斥问题： 1.题型： （1）两集合。 （2）三集合。 2.方法： （1）公式法。 （2）画图法。能用公式先用公式，不能用公式再画图。 【知识点】两集合公式： 1.推导： 假如高照老师给你家装修房子， 先贴 A 纸， 再贴 B 纸， 如果只算 A、 B 所占面积的钱，则老师就亏了，先贴 A 纸再贴 B 纸，中间有交叉的部分，则把 纸撕开来看，为 A+B-AB，正面不好求，反向求，即 A+B-AB=总数-都不（空 白的） 。 2.公式：A+B-AB=总数-A、B 都不满足个数。 【例 1】（2019 江苏）市电视台向 150 位观众调查前一天晚上甲、乙两个频 道的收视情况，其中 108 人看过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过甲频道 又看过乙频道，则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是： 23 A.17 B.22 C.29 D.38 【解析】例 1.判定题型，两集合容斥原理问题，公式：A+B-AB=总数-都 不。设均未看过的人数为 x，代入数据：108+36-23=150-x，用尾数法，尾 1=尾 0-x 的尾数，尾 1+x 的尾数=尾 0，则 x 的尾数为 9，对应 C 项。 【选 C】 【注意】尾数法： 1.口诀：左是左，右是右，要想快，先消负。 2.例子： （1）376+375+219-112-113-70+45=999-x，尾 0=尾 9-x 的尾数，尾 0+x 的 尾数=尾 9，x 的尾数为 9。 （2）315+412+316-143-144-143+77=999-x，尾 0=尾 9-x 的尾数，尾 0+x 的 尾数=尾 9，x 的尾数为 9。 3.课后作业：自编尾数法 10 题练习。 【知识点】三集合标准型： 1.推导：比如老师来装修房子，先贴 A 纸，再贴 B 纸，最后贴 C 纸，如果只 给 A、B、C 所占的面积的钱，老师就亏了，则把纸撕开来看，为 A+B+C-AB-A C-BC，中间部分漏了，还需要加回来，即 A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总 数-都不（空白的） 。 2.题型识别：出现 AB、AC、BC。 3.公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不满足个数。 24 【例 2】 （2018 陕西） 有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析， 结果显示， 抗氧化剂达标的有 68 种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59 种，抗氧 化剂和防腐剂都达标的有 54 种，防腐剂和漂白剂都达标的有 43 种，抗氧化剂和 漂白剂都达标的有 35 种，三种食品添加剂都达标的有 30 种，那么三种食品添加 剂都不达标的有多少种？ A.14 B.15 C.16 D.17 E.18 F.19 G.20 H.21 【解析】例 2.山东省考没有 8 个选项。出现 AB、AC、BC，三集合容 斥原理问题，用标准型公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。设三 种食品添加剂都不达标的有 x 种，代入数据：68+77+59-54-43-35+30=120-x，用 尾数法（口诀：左是左，右是右，要想快，先消负） ，尾 2=尾 0-x 的尾数，尾 2+x 的尾数=尾 0，则 x 的尾数为 8，对应 E 项。 【选 E】 【知识点】三集合非标准型： 1.推导：观察发现，m、n、p 是两层，属于满足两个条件的；q 是三层，属 于满足三个条件的（都满足的） 。原来两层的变成一层要撕掉一层，原来三层的 变成一层要撕掉两层，即 A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不。 2.前提：出现满足两个条件。 3.公式：A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不满足个数。 4.标准型是两层、三层一起撕，非标准型是两层、三层分开撕。 25 【例 3】 （2018 江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为 90%，在调查对象中有 180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行学 习，100 人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有 50 人， 同时使用两种方式学习的有 20 人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这 次共发放了多少份问卷？ A.370 B.380 C.390 D.400 【解析】例 3.出现“问卷回收率” ，假设发出 100 张问卷，则回收回来的有 90 张问卷。出现“满足两种条件” ，属于非标准型容斥原理问题，公式：A+B+C- 满足两个-2*满足三个=总数-都不。 设共发放问卷为 x 份， 则回收问卷=0.9x，“不 存在三种方式学习都不用的人” ，即都不=0，代入数据：180+200+100-20- 100=0.9x-0，不能用尾数法，360=0.9x，解得 x=400，对应 D 项。 【选 D】 【知识点】1.三集合非标准型： （1）前提：出现满足两个条件。 （2）公式：A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不满足个数。 2.常识公式： （1）推导：假设考公务员，有 A、B、C 三个省份，m 是既考上 A 省又考上 B 省，n 是既考上 A 省又考上 C 省，p 是既考上 C 省又考上 B 省，q 是三个省都考 上；或者理解为 A 是公务员，B 是事业单位，C 是选调生，有人考上一个职位， 有人考上两个职位，有人考上三个职位，问总共考上多少人？三角形部分 +m+n+p+q=总数-没有考上的，即满足一个条件+满足两个条件+满足三个条件=总 数-都不。 26 （2）公式：满足一个条件+满足两个条件+满足三个条件=总数-都不。 3.三集合非标准型变形公式： （1）推导：非标准型公式与常识公式相等，A+B+C-满足两个条件-2*满足三 个条件=满足一个条件+满足两个条件+满足三个条件，整理得：A+B+C=满足一个 条件+2*满足两个条件+3*满足三个条件。 （2）公式：满足一个条件+2*满足两个条件+3*满足三个条件=A+B+C。 （3） 应用于出现满足一个条件、 满足两个条件、 满足三个条件。 比如买票， 区域只需要买 A 票，区域只需要买 B 票，区域只需要买 C 票，即只参观这 三个区域的一个每人只需买 1 张票；m 是既参观 A 馆又参观 B 馆，需要买 2 张 票，假设有 m 人，需要买 2m 张票，同理，n 是既参观 A 馆又参观 C 馆，需要买 2 张票，假设有 n 人，需要买 2n 张票，p 是既参观 C 馆又参观 B 馆，需要买 2 张 票，假设有 p 人，需要买 2p 张票；q 是参观三个馆，需要买 3 张票，假设有 q 人，需要买 3q 张票。 27 （4）人数和人次的体现与人数和票的体现是等价的，如要去厕所，圆外面 区域代表只去 1 次，m 的地方有 m 人，去了 2m 次。 【例 4】 （2016 江苏）某单位举办设有 A、B、C 三个项目的趣味运动会，每 位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有 72 名员工报名，其中参加 A、 B、C 三个项目的人数分别为 26、32、38，三个项目都参加的有 4 人，则仅参加 一个项目的员工人数是： A.48 B.40 C.52 D.44 【解析】例 4.容斥原理问题，出现“满足一个条件、满足三个条件” ，用非 标准型变形公式： 满足一项+2*满足两项+3*满足三项=A+B+C。 设满足一项的为 x， 满足两项的为 y，满足三项的有 4，列式：x+y+4=72，x+2y+3*4=26+32+38， 问参加一个项目的，消 y，*2-得：x-4=72*2-26-32-38，用尾数法，x 的尾 数-尾 4=尾 8，x 的尾数=尾 4+尾 8，x 的尾数为 2，对应 C 项。 【选 C】 28 【知识点】1.容斥问题公式： （1）两集合：A+B-AB=总数-都不。 （2）三集合标准型： 公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。 识别：分开给出两两交集（既又） 。 （3）三集合非标准型： 公式：A+B+C-满足两者-2*三者满足=总数-都不。 识别：统一给出满足两种（满足两种的、满足三种的） 。 （4）变形：满足一个条件+2*满足两个条件+3*满足三个条件=A+B+C（体现 人数和人次的关系） 。 2.画图法： （1）出现只满足某一个小条件。如只满足 A 即只满足某一个小条件，公式 不能用，则画图。 （2）提醒：每个封闭区域只有一个数。 （3）假设 B 为 8，只满足 A 和 B 为 5，ABC 为 1，只满足 B 和 C 为 1， 则只满足 B=8-5-1-1=1。 3.容斥问题的方法选择： （1）公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分，不用公式想啥呢。 （2） 画图法： 题目中所给所求公式里没有， 公式法用不了， 不画图等啥呢。 判定：只满足某一个小条件。 方法三步走（不用记） ：第一步，画图；第二步，标数字（从里往外标） ； 第三步，列算式（尾数法） 。 大局出发，抓住问题所在。 29 【例 5】 （2018 广州）篮子里有苹果和梨两种水果若干个，将这些水果分发 给 13 个人，每人最少拿一个，最多拿两个不同的水果。已知有 9 个人拿到了苹 果，有 8 个人拿到了梨，最后全部分完。那么，有多少人只拿到了苹果？ A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】例 5.两集合容斥原理问题，出现“只拿苹果” ，画图。 “每人最少拿 一个”即没有不拿的，假设左边为苹果，右边为梨，问只拿苹果的，抓住问题所 在，从大局出发，只拿苹果=13-8=5，对应 B 项。有的同学设都满足的为 x，用苹 果+梨-x=总数，即 9+8-x=13，解得 x=4，再用 9-4=5。 【选 B】 【注意】用公式来计算比较麻烦，直接从大局出发。 【答案汇总】1-5：CEDCB 【小结】容斥原理： 1.公式： （1）两集合：A+B-AB=总数-都不。 （2）三集合： 30 标准型：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。 非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。 常识型：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。 变形：满足一项+2*满足两项+3*满足三项=A+B+C。 2.画图： （1）画圈圈，标数据。 （2）从里到外，注意去重。 【注意】摊煎饼，有全麦的、土豆的、地瓜的，如果只给三块煎饼所占面积 的钱，老板就会把中间重合的地方抠掉。要抓住抠的方法和出现