矩阵理论及应用-jordan标准型

2020/5/12,电子信息工程学院,1,第六节矩阵的Jordan标准形,一、矩阵及其Smith标准形,1、矩阵,以数域上的变量的多项式为元素的矩阵,其中，是数域上的变量的多项式。,例如：矩阵的特征矩阵,就是一个矩阵。,2020/5/12,电子信息工程学院,2,第六节矩阵的Jordan标准形,矩阵的秩:,不恒等于零的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为,例：,矩阵的逆:,若两个阶的矩阵和满足,则称为可逆矩阵（或为单模矩阵），并称是的逆矩阵,记为,定理1.6.1,矩阵可逆的充要条件是是数域中的非零常数。,2020/5/12,电子信息工程学院,3,第六节矩阵的Jordan标准形,2、矩阵的初等变换,三种初等变换为：,（1）两行（或列）互换位置；,（2）某行（或列）乘以不等于零的数；,（3）某行（或列）乘以的多项式加到另一行（或列）。,三种初等变换对应三个不同的初等矩阵,（由单位矩阵作相应的初等变换即可得其对应的初等矩阵）,初等矩阵都是可逆矩阵,当对矩阵进行行变换时，相当于左乘相应的初等矩阵；当对矩阵进行列变换时，相当于右乘相应的初等矩阵，且施行初等变换不改变矩阵的秩。,2020/5/12,电子信息工程学院,4,第六节矩阵的Jordan标准形,定义1.6.4,（等价变换）若矩阵经有限次初等变换化为矩阵，则称与等价，记为。,矩阵的等价关系与数字矩阵一样，满足自反性、对称性和传递性。,3、矩阵的标准形,定理1.6.2,任一非零的矩阵都等价于一个如下形式的标准对角形矩阵,其中是的秩，是的首一多项式，且，将称为的Smith标准形。,2020/5/12,电子信息工程学院,5,第六节矩阵的Jordan标准形,例1.6.1,求的Smith标准形。,解：,2020/5/12,电子信息工程学院,6,第六节矩阵的Jordan标准形,例1.6.2,解：,2020/5/12,电子信息工程学院,7,第六节矩阵的Jordan标准形,可以证明，在矩阵的标准形中，对角线上的非零元素不随矩阵初等变换而改变，称为的不变因子。,4、矩阵的行列式因子,定义1.6.4,设矩阵的秩为，对正整数中，必有非零的阶子式，称中所有的阶子式的首一最大公因式为的阶行列式因子，记为。,（行列式因子）,2020/5/12,电子信息工程学院,8,第六节矩阵的Jordan标准形,。,由定义可知，一个阶矩阵的阶行列式因子能整除任一个阶子式，而由行列式的展开可知一个阶行列式可表示为个阶子式的代数和，从而能整除任一个阶子式，因此，能整除，即,2020/5/12,电子信息工程学院,9,第六节矩阵的Jordan标准形,2020/5/12,电子信息工程学院,10,第六节矩阵的Jordan标准形,于是有,2020/5/12,电子信息工程学院,11,第六节矩阵的Jordan标准形,5、矩阵的初等因子,将矩阵的不变因子分解成各因式的乘积形式，即,其中互异，且由不变因子的整除性，有,所有指数大于零的因子都称为的初等因子；全部初等因子称为的初等因子组；其中称为与相当的初等因子组。,2020/5/12,电子信息工程学院,12,第六节矩阵的Jordan标准形,解：,于是不变因子为,初等因子组为,Smith标准形为,2020/5/12,电子信息工程学院,13,第六节矩阵的Jordan标准形,由初等因子求不变因子的情况，主要应用于对角矩阵或分块对角矩阵的不变因子或Smith标准形的计算。,设有分块对角矩阵,定理1.6.4,则的初等因子组的全体就是的初等因子组。,如：矩阵,其初等因子组为,不变因子为,Smith标准形为,2020/5/12,电子信息工程学院,14,第六节矩阵的Jordan标准形,定理1.6.5,与均为的矩阵：,2020/5/12,电子信息工程学院,15,第六节矩阵的Jordan标准形,二、矩阵的Jordan标准形,1、Jordan形矩阵和Jordan块,定理1.6.6,设是复数域上的线性空间的线性变换，任意取的一个基，在该基下的矩阵为,（或）的特征多项式可分解因式为，,则可分解为不变子空间的直和，其中是线性变换的核子空间。,如果给每个子空间选择一个适当的基，每个子空间的基合并起来即为的基，且在该基下的矩阵为如下形式的准对角矩阵,2020/5/12,电子信息工程学院,16,第六节矩阵的Jordan标准形,其中,形如上述形式的方阵称为Jordan形矩阵，其中方阵称为Jordan块。,2020/5/12,电子信息工程学院,17,第六节矩阵的Jordan标准形,2、Jordan块的特征矩阵及Smith标准形,Jordan块的特征矩阵,因此，的Smith标准形为,每一个Jordan块的特征矩阵仅有一个初等因子，即。因此Jordan标准形的特征矩阵的初等因子就是每一个Jordan块的初等因子的总合，即为,2020/5/12,电子信息工程学院,18,第六节矩阵的Jordan标准形,例1.6.5,其中包含有三个Jordan块：,Smith标准形为,和同理，其初等因子分别为，的初等因子为，。因此的特征矩阵的Smith标准形为,2020/5/12,电子信息工程学院,19,第六节矩阵的Jordan标准形,3、矩阵的Jordan标准形,定理1.6.7,每个阶复矩阵都有一个与之相似的Jordan标准形，这个Jordan标准形在不计Jordan块的排列顺序时，完全由矩阵惟一决定，即每一个矩阵都有一个与之相似的Jordan标准形。,定理1.6.8,证明：,设矩阵的特征矩阵的初等因子为,其中可能有相同值,2020/5/12,电子信息工程学院,20,第六节矩阵的Jordan标准形,每个初等因子对应一个Jordan块这些构成一Jordan标准形,的特征矩阵的全部初等因子也为,因而与具有相同的初等因子组，因而有相同的Smith标准形，即,将矩阵化成其Jordan标准形的步骤为：,（1）写出的特征矩阵；,（2）求出的全部初等因子；,（3）写出每个初等因子所对应的Jordan块；,（4）由Jordan块组合为的Jordan标准形。,2020/5/12,电子信息工程学院,21,第六节矩阵的Jordan标准形,例1.6.6,求矩阵的Jordan标准形。,解：,2020/5/12,电子信息工程学院,22,第六节矩阵的Jordan标准形,4、广义特征向量,如何寻找使得的非奇异矩阵？,是矩阵的属于特征值的特征向量，是矩阵的属于特征值的特征