椭圆及其标准方程的教学设计与反思

椭圆及其标准方程的教学设计与反思 一、教学内容与内容分析 1、教材地位分析：椭圆及其标准方程是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是利用坐标法研究几何问题的又一次实践运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用 2、重点、难点分析：本节课的重点是椭圆的定义及其标准方程；标准方程的推导是本节课的难点，要突破这一难点，就要引导学生学会化简带有根号的式子。 3、学情分析：在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难如：由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍 二、教学目标与目标分析 1、知识与技能目标：掌握椭圆的定义及其标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法 2、过程与方法目标：经历动手画椭圆，观察分析、分组讨论探究椭圆定义，推导椭圆标准方程的过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力；体会坐标法思想。 3、情感、态度、价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，逐步培养学生勇于探索、敢于创新的精神 三、教学问题诊断分析1教学的第一个问题：椭圆是怎样画出的。教学中通过椭圆与圆的关系，让学生观察与操作，利用水杯及细绳建立直观的概念，要鼓励学生大胆操作。 问题解决方案一：学生可能提出将圆柱形水杯换成圆锥。（解释方法一致） 问题解决方案二：两定点距离、绳长与图形的关系，通过操作，完善定义。2教学的第二个问题：椭圆标准方程的推导过程中含有两个根式的等式化简。 问题解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导。3教学的第三个问题：焦点在y轴上的椭圆方程的得出。问题解决方案：可以利用类比“化归”的思想，通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程。 四、教学支持条件分析 1、学生通过对圆的学习，已经初步体会了用代数方法研究几何图形的方法，了解了求点的轨迹的一般方法，并初步感受了数形结合极坐标法思想，为本节的探究分析奠定了基础。2、椭圆是常见的图形，学生对椭圆已有一定的感性认识。3、使用多媒体辅助教学与实体教具相结合的设计方案，实现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用的优势的结合，既突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性 五、教学过程设计 （一）设置情境、问题诱导复习提问：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么形式？求曲线的轨迹方程的两种方法，提问：方法一是基本法，其求动点轨迹的一般步骤是什么？；方法二是待定系数法，其解题步骤是。学生回答后，再提出问题诱导学生思考以下问题，引发认知冲突：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方程又是什么形式？从而激起学生强烈的求知欲望 （二）探索研究、掌握新知 、请学生拿出事先准备好的自制教具：细绳、铅笔，同桌一起合作画椭圆我在学生的绘图纸上精心设计了三个问题： 1、在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2、改变两图钉之间的距离2c，使其与绳长2a相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3、绳长能小于两图钉之间的距离吗？结合用多媒体演示画椭圆 这样，学生边作图、边思考、边讨论，每组学生都可对上述三个问题进行研究比较，我在投影仪上展示学生画出的不同图形，然后参与学生的讨论，引导学生全员参与，积极发言，相互补充，从而探究出三个结论并归纳出椭圆的定义（强调(2a2c) ），要强调满足三个条件：平面内（这是大前提）；任意一点到两个定点的距离的和等于常数；常数大于 |F1 F2 |.图片展示生活中的椭圆，引发学生的注意与兴趣，体会椭圆的普遍存在性。12yoFFMx 、接着学生思考两个问题： 1、求曲线方程的一般步骤是什么？ 2、圆心在原点的圆的方程与不在原点的方程哪个形式更简单？为什么？那么我们如何建系，才能使所得方程更简洁呢？ 对于同学们的意见，要给予充分肯定为了突破难点，在学生推导过程中进行思维点拨：我们通常用什么方法化简含有根号的式子 1oFyx2FM 学生思考尝试讨论后，经过整理后再平方过程较简单；以两焦点连线中点为原点建系所得方程形式较简单，但仍不是很简洁、 针对这一结果，我直接指出：令再两边同除以，可使方程体现数学的对称美和简约美；不同建系方案得到的方程都叫做椭圆的方程，但这两种形式的方程叫做椭圆的标准方程。（） （） 得到标准方程之后，对方程进行细致的结构分析。（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1。（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（见练习）（4）椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定。（5）椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定，即只要知道三个参数a、b、c的值，就可以写出椭圆的标准方程。因此我们需要求椭圆的标准方程时，应该运用待定系数法（其步骤是：先设方程、再求参数、最后写出方程），其关键是求a、b的值。 （三）变式演练、加深理解例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上；（2）（3）例2、平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程例1补充说明：注意椭圆的标准方程的形式书写，大家应熟练掌握两种形式的标准方程。例2补充说明：1、我们是把焦点建立在x轴上从而解决了问题，问可不可以把焦点建立在y轴上呢？ 2、把焦点建立在x轴上或y轴上，这是问题的两种不同的解法，而不是两种情况，我们在解题时只需选择其中之一即可。3、理解椭圆的定义，熟练地掌握椭圆方程的推导方法（尤其是建立坐标系的方法）是解决本题的关键。例3补充说明：(1)合理地建立坐标系并充分利用椭圆的定义使本题的解法巧妙，计算简单。否则若设动点坐标再求轨迹方程时，则方法会比较复杂。(2)注意三个参数a、b、c应满足关系式：a2=b2+c2(3)注意曲线方程的完备性。 1、 形成性练习(投影)（1）指出下列椭圆中a、b、c的值，并说出焦点所在的坐标轴2、巩固性练习(投影)（1） 已知椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是（）A 2 B 3 C 5 D 7（2） 椭圆的焦距为2，则m的值为（ ）A 5 B 3 C 3或5 D 6（3）已知DABC的周长为36，AB边长为10，求DABC顶点C的轨迹方程 例题先引导学生如何做，在尝试练习。例题围绕椭圆定义及其标准方程这两个重要知识点设计选题，使学生能够根据定义和所给条件写出椭圆的标准方程；再进行变式练习，采取学生思考，分组交流的方式而变式练习则更多的体现能力立意，使学生能够灵活的运用知识，提高解决问题的能力变式练习采用的多少还要根据学生具体情况予以取舍 （四）反思总结、提高素质 采用同学们积极发言，填写表格的形式对本节内容进行反思、归纳、总结，从而达到深化知识理解，构建知识网络，领悟思想方法的目的（五）布置作业，强化落实 围绕巩固知识、发展能力的目标选择布置书面作业和思考题 板书设计：（略）六、目标检测设计通过不同层次的练习题的设置，检查学生对知识点的把握程度，同时多层次性也能够尽量满足不同学生的学习需求。作业设计以基础为主，保持对大部分学生的有效性，同时设置思考选做题，给予学有余力的同学更多的学习和发展空间。七、反思预期效果目标整体上得到了实现，在实现的过程中，对问题思考的引导欠缺，使得学生没有在第一时间就想到结论或方法。在探究的过程中，主要以小组合作操作、观察、讨论的方式，从而有效的得到结论，同时也增强了学生间的合作探究意识与能力，想法很好，但是有效性有所欠缺。在平时的学习过程中还要进一步的加强合作意