随机变量的数字特征

第三章随机变量的数字特征,在第二章的讨论知道，离散型随机变量的变化规律由其概率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但在实际应用中，概率分布或密度函数的获得通常是困难的。另一方面，在应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数，而只需知道该随机变量的某些特征。,例如，为了对某市高一学生的某门课的考试成绩作分析，一般并不需要所有学生的考试成绩，而只需知道每所学校的平均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩的偏离程度，有了这些指标，就可以作横向和纵向的比较。这里平均成绩就是学生成绩这一随机变量的特征。,用以刻画随机变量某方面特征的量，称为随机变量的数字特征。,常用的数字特征：数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方差、相关系数。,第一节随机变量的数学期望,例1某工厂生产一批产品，一等品占50%，二等品占40%，次品占10%。如果生产一件次品，工厂要损失1元钱，生产一件一等品，工厂获得2元钱的利润，生产一件二等品，工厂获得1元钱的利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件产品获得的期望利润是多少？,设X表示每件产品获得的利润，则它是随机变量，其概率分布为,解：,解：,假设工厂一共生产了N件产品，其中一等品n1件，二等品n2件，次品n3件,这N件产品获得的平均利润为,或者写为,而在大量重复试验下当N无限增大时，频率的稳定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋近于,或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每件产品获得1.3元的利润。,数值1.3称为随机变量X的数学期望或均值。,一、离散型随机变量的数学期望,第一节随机变量的数学期望,注：,第一节随机变量的数学期望,例甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击中的环数。他们命中环数的分布律分别为,试问哪一个人的射击水平较高?,二、连续型随机变量的数学期望,概率,密度函数,例3.3设随机变量的密度函数为,求的数学期望。,解由连续型随机变量数学期望的定义，有,三、随机变量函数的数学期望,定理设为随机变量，为实函数，,解,解,例3.5对例3.3中的随机变量，求,四、数学期望的性质,（1）若，则，特别地,（3）,（2）,（4）,第二节随机变量的方差,有可能产品的寿命均集中在9501050小时！,有可能一半产品的寿命集中在700小时，另一半产品的寿命集中在1300小时！,对随机变量，知道了它的数学期望，虽然对该随机变量有了一定的了解，但还不够！,例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿命为1000小时，即，但不能完全肯定质量的好坏！,有必要找一个量，能够度量随机变量相对于的偏离程度。,什么量，能够度量随机变量相对于的偏离程度？,是随机变量,（正负偏差相互抵消）,定义设随机变量的数学期望为，则称为随机变量的方差，记为，或，并称为的标准差。,方差的计算：,考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：，因此,若为离散型随机变量，概率分布为，则,若为连续型随机变量，概率密度函数为，则,在很多场合，计算方差经常用到如下公式：,方差的性质：,（1）,（2）,（3）,例3.6设随机变量的密度函数为,解由例3.3的结果，,求的方差,解,称为的标准化，它是一个无量纲的随机变量，将原分布中心移至原点，且方差为1个单位。,证,因此当时，达到最小值，且最小值为,第三节常用分布的数学期望和方差,一、常用离散型分布的数学期望和方差,退化分布：离散型随机变量只取常数，即，,2.0-1分布：离散型随机变量的概率分布为,因此,因此,3.个点上的均匀分布：,4.二项分布：,离散型随机变量的概率分布为,，即离散型随机变量的概率分布为,因此,则,5.几何分布：,随机变量的概率分布为,6.超几何分布：,随机变量的概率分布为,（证明略）,7.泊松分布：随机变量的概率分布为,二、常用连续型分布的数学期望和方差,均匀分布：,密度函数为,连续型随机变量服从区间上的均匀分布，,则,而,从而,2.指数分布：,连续型随机变量服从参数为的指数分布，,密度函数为,则,而,从而,3.正态分布：,则数学期望为,随机变量，其密度函数为,（令）,方差为,（令）,分布名称概率分布数学期望方差,退化分布,0-1分布,个点的均匀分布,二项分布,几何分布,超几何分布,泊松分布,分布名称密度函数数学期望方差,均匀分布,指数分布,正态分布,第四节随机变量的矩和切比雪夫不等式,一、矩,矩是数学期望和方差的推广，在数理统计中有重要应用。,定义：对随机变量，设为正整数，如果存在,即为数学期望。,即为方差。,（即），则称为的阶原点矩。,矩的计算：,则,（1）若为离散型随机变量，概率分布为,（2）若为连续型随机变量，密度函数为，则,二、切比雪夫不等式,定理：对随机变量，设均存在，则对任意，,有,或者,切比雪夫不等式,切比雪夫不等式给出了随机变量对其数学期望绝对偏差的概率的估计。,不等式表明，越小，事件的概