高等数学-第五章定积分习题课ppt课件

.,1,本周调课通知,周五3、4、5调至周三10、11、12A408,.,2,第五章定积分习题课,.,3,1定积分的定义：,2定积分的几何意义：,用图表示:,一、定积分的概念与性质,曲边梯形的面积,.,4,3可积的充分条件,若在区间上连续，则在上可积.,若在区间上有界，且只有限个间断点，则在上可积.,4定积分的性质,反号性：,与积分变量无关性：,线性性质：,区间可加性:,.,5,区间长：,保号性：如果在区间上,，则,单调性：如果在区间上,则,估值定理：设和分别是函数在区间上的最大值和最小值，则,.,6,奇偶对称性：若在上连续，则,二、积分上限函数与牛顿莱布尼兹公式,1积分上限函数：,是奇函数,是偶函数,0，,设函数在区间上连续，则称,定积分中值定理：如果函数在闭区间上连续,则至少存在一点,使下式成立：,(定积分与积分变量记法无关),.,7,(1),(2),(3),3牛顿莱布尼兹公式：若函数为连续函数在区间上的一个原函数，则,2积分上限函数的微分,.,8,三、定积分的计算方法,求定积分的总体原则：先求被积函数的原函数,然后利用牛顿莱布尼兹公式计算，即,1换元积分法,（1）凑微分法：,（2）变量置换法：函数满足条件：,.,9,2分部积分法：,四、反常积分,1无穷限的反常积分,.,10,2无界函数的反常积分,设为的瑕点,则,设为的瑕点,则,设为的瑕点，则有,.,11,五、典型例题,解：由于在上连续,且是在上的一个原函数，故,【例1】设在上有连续导数，且是在上的一个原函数,求,.,12,【例2】求定积分,解：,注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将其去掉，并且要特别注意被积函数的符号,.,13,【例3】设,求,解:,.,14,【例4】设求,分析：利用变量代换将在上的定积分化为在上的定积分再计算。,解:设,则,.,15,【例5】设为连续函数，求,解:令,则,当时,当时,则,故,.,16,【例6】设,求,解:,由,得,则,所以,.,17,【例7】求定积分,解:设,则,.,18,【例8】计算定积分,解:令则,当时,当时,.,19,【例9】计算定积分,解:,.,20,【例10】求定积分,分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性,解:原式,.,21,【例11】设求,解：因为,所以,.,22,解:,.,23,【例13】求极限,解:,易错提醒：在求含有积分上限函数的极限时，一定要验证是不是未定式，若不是，不能应用罗比塔法则。如,分析：极限为型未定式，应用罗比塔法则。,.,24,罗比塔法则得,注意:,因为没有在点连续的条件，无法求出其值。,而由题中所给已知条件，可以考虑利用导数定义。,分析：该极限为型未定式，应用罗比塔法则，有,此式仍为型未定式，可以继续应用,.,25,解：,中所遇到的关于函数性质的研究完全可以用到该积分中来，,小结：积分表示自变量为的函数，因此微分学,如研究的单调性、极值、最值、极限、连续等等,.,26,【例15】设在上连续，且,证明：(1),(2)方程在内有且仅有一个实根,证明：(1),即有,.,27,由零点定理知方程在内至少有一根。,又因为,在上函数单调增加，所以方程在至多有一根。,(2)因为在上连续，所以在上也连续又有,所以，方程在内有且仅有一实根。,.,28,【例16】设,分析：求分段函数的变上限积分的题型，其解法是：按与被积函数相同的分段依次讨论，计算中使用定积分的可加性。,所以，应分段求的表达式,当时，,求在内的表达式,解：在的定义域中，是分段函数，,.,29,当时，,当时，,于是,.,30,【例17】求反常积分,解：,.,31,【例18】求积分,分析：被积函数在积分区间上不是连续的，,解：,因为,故该积分发散,.,32,注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时要特别注意。,错误在于将反常积分误认为定积分。,在应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分时，必须注意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续,常见的错误做法：,.,33,【例19】.,解：,且由方程,确定y是x的函数,求,方程两端对x求导,得,令x=1,得,再对y求导,得,故,.,34,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,至少存在一点,【例20】,.,35,证明:令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立.,故由罗尔定理知,存在一点,.,