高等数学(一)00020第03章ppt课件

第三章,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家Ferma在研究,极值问题中提出.,英国数学家Newton,1,.,引例,1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则到的平均速度为,而在时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2,.,2.曲线的切线斜率,曲线,在M点处的切线,割线MN的极限位置MT,(当时),割线MN的斜率,切线MT的斜率,3,.,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,4,.,第三章导数与微分3.1导数与微分的概念3.2导数的运算3.3几种特殊函数的求导法、高阶导数,5,.,3.1导数与微分的概念,3.1.1导数的概念1.函数在一点处的导数定义2.函数在一点处的单侧导数3.函数在一点处的导数的几何意义4.函数在一点处的导数与连续的关系3.1.2微分的概念1.函数在一点处的微分2.函数在一点处可微与可导的关系-微分计算公式3.函数微分的几何意义,6,.,定义3.1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,3.1.1导数的概念（教材P71）1.函数在一点处的导数定义,7,.,运动质点的位置函数,在时刻的瞬时速度,曲线,在M点处的切线斜率,说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,8,.,若上述极限不存在,在点不可导.,若,也称,在,若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在I内可导.,的导数为无穷大.,9,.,10,由定义求导数（三步法）,例4,(3)取极限：,(1)求增量：,(2)算比值：,(1)求增量：,（2）算比值：,求函数,(c为常数)的导数,解,（3）取极限：,即,.,11,例5,求函数,的导数。,(1)求增量:,(2)算比值:,(3)取极限:,即,由于函数在某点的导数就是导函数在该点的函数值，,点的导数，可以先求出导函数,，再将,代入，求出导函数的值,即可,所以求函数在,解,.,12,更一般地，有(xm)=mxm-1(其中m为常数)。,把以上结果中的a换成x得f(x)=nxn-1，,即(xn)=nxn-1。,求函数f(x)=xn(n为正整数)在x=a处的导数。,解,例5推广,.,说明：,对一般幂函数,(为常数),例如，,13,.,例7.求函数,的导数.,解:,即,或,14,.,例8.求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,15,.,16,运用导数定义可以推出幂函数，正弦函数，余弦函数以,以及对数函数的导数公式，它们是：,.,在点,的某个右邻域内,2、函数在一点处的单侧导数（教材P72）,若极限,则称此极限值为,在处的右导数,记作,即,(左),(左),例如,在x=0处有,定义3.2.设函数,有定义,存在,17,.,定理3.1.函数,在点,且,存在,简写为,结论：函数,(左),(左),若函数,与,都存在,则称,显然:,在闭区间a,b上可导,在开区间内可导,在闭区间上可导.,可导的充分必要条件,是,且,在闭区间a,b上连续,18,.,19,例9证明函数：,（参阅教材P73.例9）,.,20,3、导数的几何意义,切线方程:,法线方程:,.,21,例10求曲线y=x3在点（1,1）处的切线方程与法线方程。,解：由公式,得到：y=(f(x)=(x3)=3x2,代入（1,1）得到：y（1）=f(1)=3,切线方程:,法线方程:,.,22,例求曲线,在点(42)处的切线方程和法线方程.,解,由公式可知,即切线的斜率为,可得切线方程为,即,因法线的斜率为,故所求法线方程为,即,.,23,4、函数的可导性与连续性的关系,定理3.2,证,设,在点x处可导,因此必有,其中,故,函数在点x连续未必可导.,即,存在,注意:,.,24,例如，函数在点处连续,但在处不可导,因为在点处有,而当时，即导数为无穷大，即不可导,这种情况表示曲线在原点具有垂直于X轴的切线,证明,.,25,因为在,没有切线.,例如,证明,.,26,导数内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,.,思考与练习,1.函数在某点处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,27,.,2.设,存在,则,3.已知,则,4.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,28,.,5.设,问a取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在x=0连续.,29,.,3.1.2微分的概念（教材P74）,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为x,面积为A,则,面积的增量为,关于x的线性主部,故,当x在,取,变到,边长由,其,.,的微分,定义3.3:若函数,在点的增量可表示为,(A为不依赖于x的常数),则称函数,而称为,记作,即,在点,可微,1.函数在一点处的微分,或df(x0)=A(x0)x,.,定理3.3:函数,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,2.函数在一点处可微与可导的关系-微分计算公式,求函数,（）当由变到1.01时的微分,（）在时x=3的微分.,（）,（）,解,例,可导,可微,注意：,.,33,自变量的微分：,因为当y=x时，,所以通常把自变量x的增量,称为自变量的微分，,记作dx,即,因此，函数y=f(x)的微分又记作,.,34,增量与微分的关系:,根据等价无穷小的性质,结论:,.,35,3、微分的几何意义,很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,.,36,我们有,那么又有,微分在近似计算中的应用,.,37,例15.利用公式,求函数在x=0附近的值.,(1)设,于是,代入公式,得,即,.,牛顿(16421727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,.,莱布尼兹(16