2010考研数农真题及解析

.2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数 学一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 设函数，则 ( )(A) 及都是的第一类间断点 (B) 及都是的第二类间断点(C) 是的第一类间断点，都是的第二类间断点(D) 是的第二类间断点，都是的第一类间断点(2) 曲线的凸弧区间是 ( )(A) (B) (C) (D)(3) 设函数，具有二阶导数，则在取极大值的一个充分条件是 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设函数在区间上连续，且，记，则 ( )(A) (B) (C) (D)(5) 设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是 ( )(A)若向量组线性无关，则 (B) 若向量组线性相关，则(C) 若向量组线性无关，则 (D) 若向量组线性相关，则(6) 设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于 ( )(A) (B) (C) (D) (7) 设随机变量服从上的均匀分布，事件，则( )(A) (B) (C) (D) (8) 设使来自总体的简单随机样本，记统计量，则 ( )(A) (B) (C) (D) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) . (10) 曲线的水平渐近线的方程为.(11) 已知一个长方形的长以0.2m/s的速率增加，宽以0.3m/s的速率增加，当，时，其面积增加的速率为.(12) 函数在点的全微分.(13) 设，为的转置矩阵，则行列式 .(14) 设随机变量的概率分布为，其中，若，则.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10分)设函数，求(16)(本题满分10分)计算定积分(17)(本题满分11分)设某农作物长高到0.1后，高度的增长速率与现有高度及之积成比例(比例系数)，求此农作物生长高度的变化规律(高度以为单位).(18)(本题满分11分)计算二重积分，其中区域.(19)(本题满分 10分)证明：.(20)(本题满分10分)设，已知线性方程组有2个不同的解，求的值和方程组的通解.(21)(本题满分11分)设，6是的一个特征值，(I)求的值；(II)求的全部特征值和特征向量.(22)(本题满分10 分) 设二维随机变量的概率分布为且. 求(I)常数； (II).(23)(本题满分11 分) 设随机变量的概率密度为令，求(I) 的概率密度; (II) .2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 设函数，则 ( )(A) 及都是的第一类间断点. (B) 及都是的第二类间断点.(C) 是的第一类间断点，都是的第二类间断点.(D) 是的第二类间断点，都是的第一类间断点.答案：C详解：, 是的第一类间断点, 是的第二类间断点.(2) 曲线的凸弧区间是 ( )(A). (B). (C). (D).答案：A详解：, , ,在 上，曲线是凸的(3) 设函数，具有二阶导数，则在取极大值的一个充分条件是 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) .答案：B详解：, , 由于 ，得：.由于 ，所以 (4) 设函数在区间上连续，且，记，则 ( )(A). (B). (C). (D).答案：D详解： ,由于 ，所以 ，.又，且., , (5) 设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是 ( ) (A) 若向量组线性无关，则. (B) 若向量组线性相关，则.(C) 若向量组线性无关，则. (D) 若向量组线性相关，则.答案：A详解：由于向量组能由向量组线性表示，所以，即若向量组线性无关，则，所以，即，选(A).(6) 设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于 ( ) (A). (B) .(C) . (D) .答案：D详解：设为的特征值，由于，所以，即，这样的特征值为-1或0。由于为实对称矩阵，故可相似对角化，即，因此，即。(7) 设随机变量服从上的均匀分布，事件，则( ) (A) . (B) .(C) . (D) .答案：D详解：(8) 设使来自总体的简单随机样本，记统计量，则 ( )(A) . (B) . (C) . (D) .答案：C详解：所以选择C项二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) . 答案：详解：(10) 曲线的水平渐近线的方程为.答案：详解：(11) 已知一个长方形的长以0.2m/s的速率增加，宽以0.3m/s的速率增加，当，时，其面积增加的速率为.答案： 详解：设，由题意知，在时刻，且，又，所以所以 (12) 函数在点的全微分.答案：详解：因为，所以，且变形为对上式两端微分，有所以 所以 (13) 设，为的转置矩阵，则行列式 .答案：0详解：是3阶矩阵，为矩阵 (14) 设随机变量的概率分布为，其中，若，则.答案：详解：得(舍)三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10分)设函数，求.详解：则 4分所以 8分所以 10分(16) (本题满分10分)计算定积分详解：令所以 4分 6分= 8分 10分(17) (本题满分11分)设某农作物长高到0.1后，高度的增长速率与现有高度及之积成比例(比例系数)，求此农作物生长高度的变化规律(高度以为单位).详解：由题意得 4分即 ，所以解得 9分代入初始条件解得所以化简得 11分(18) (本题满分11分)计算二重积分，其中区域.详解：因为关于轴对称，且的被积函数为的奇函数，所以 3分又因为 6分 8分 11分(19) (本题满分10分)证明：.证明：令对等式两边同时取对数，对等式两边同时求导数得：3分又因为时,又单调递减 7分又所以 10分(20)(本题满分 10分)设，已知线性方程组有2个不同的解，求的值和方程组的通解.详解：已知有2个不同的解 又知或-1 4分当时，此时无解 6分原方程组等价为，即的通解为 ，为任意常数。 10分(21) (本题满分11分)设，6是的一个特征值，(I) 求的值；(II) 求的全部特征值和特征向量.详解：(I)由于6是的特征值，故，即由此可得 2分(II)故的特征值为 5分由，即解得基础解系为，故对应于的全部特征向量为为不同时为零的常数. 9分由，即解得基础解系为，故对应于的全部特征向量为为不为零的常数. 11分(22) (本题满分10分) 设二维随机变量的概率分布为且. 求(I) 常数； (II) .详解：(I)由