2011年北京市各区一模试题分类解析十二、圆锥曲线(选修2-1)

.十二、圆锥曲线1（2011西城一模文11）.双曲线的离心率为_；若椭圆与双曲线有相同的焦点，则_.2（2011西城一模文12）. 设不等式组表示的区域为,圆及其内部区域记为.若向区域内投入一点，则该点落在区域内的概率为_.3（2011东城一模理13）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方）， 4（2011东城一模文9）抛物线的焦点坐标为 xyOCBAFD5（2011朝阳一模理7）如图，双曲线的中心在坐标原点， 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点.若双曲线的离心率为2，则的余弦值是（C） （A） （B） （C） （D）6(2011丰台一模理10)双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 7（2011门头沟一模理12.）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心 率等于 8(2011石景山一模理7). 已知椭圆的焦点为，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于点，则使得的点的概率为（ ）A B C D9(2011朝阳一模文12)抛物线上一点与该抛物线的焦点的距离，则点的横坐标= 3 .10(2011丰台文9)已知抛物线上一点P(3，y)，则点P到抛物线焦点的距离为 4 11(2011门头沟一模文5).椭圆两焦点为 ，P在椭圆上，若的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为A. B. C. D. 12(2011石景山一模文7). 已知椭圆的焦点为，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于点，则使得的点的概率为（ ）A BC D解答1（2011西城一模理19）. （本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（）若,，求的取值范围.解：（）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为， 2分圆的半径为， 4分所以，以线段为直径的圆与轴相切. 5分（）解法一：设，由,得， 6分所以， 8分由，得.又，所以 . 10分代入，得，整理得， 12分代入，得，所以， 13分因为，所以的取值范围是. 14分解法二：设，将代入，得，所以（*）， 6分由，得， 7分所以， 8分将代入（*）式，得， 10分所以，. 12分代入，得. 13分因为，所以的取值范围是. 14分2（2011西城一模文19）已知抛物线的焦点为，直线过点.（）若点到直线的距离为，求直线的斜率；（）设为抛物线上两点，且不与轴重合，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.解：（）由已知，不合题意.设直线的方程为，由已知，抛物线的焦点坐标为， 1分因为点到直线的距离为，所以， 3分解得，所以直线的斜率为 . 5分（）设线段中点的坐标为，因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为， 7分直线的方程为， 8分联立方程 消去得， 10分所以， 11分因为为中点，所以，即， 13分所以.即线段中点的横坐标为定值. 14分3(2011东城一模理19) （本小题共13分）已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）试用表示的面积，并求面积的最大值解：（）依题意可得，又，可得所以椭圆方程为 （）设直线的方程为，由可得设，则，可得设线段中点为，则点的坐标为，由题意有，可得可得，又，所以（）设椭圆上焦点为，则.，由，可得所以又，所以.所以的面积为（）设，则可知在区间单调递增，在区间单调递减所以，当时，有最大值所以，当时，的面积有最大值4（2011东城一模文19）（本小题共14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）求椭圆的标准方程；（）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围解：（）设所求的椭圆方程为： 由题意： 所求椭圆方程为： 5分（）若过点的斜率不存在，则 若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以 设由已知，则 将代入得：整理得：所以代入式得，解得所以或综上可得，实数的取值范围为：14分5（2011朝阳一模理19）（本小题满分14分）已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为 （）求椭圆的方程及离心率；（）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明解：（）由题意可设椭圆的方程为，由题意知解得， 故椭圆的方程为，离心率为6分（）以为直径的圆与直线相切 证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为由得设点的坐标为，则所以， 10分因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为.直线轴，此时以为直径的圆与直线相切当时，则直线的斜率.所以直线的方程为点到直线的距离又因为 ，所以故以为直径的圆与直线相切综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切14分6(2011丰台一模理19).（本小题共14分） 已知点，动点P满足，记动点P的轨迹为W（）求W的方程；（）直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围解：（）由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆2分 ， 3分W的方程是 4分（另解：设坐标1分，列方程1分，得结果2分）（）设C，D两点坐标分别为、，C，D中点为由 得 6分所以 7分， 从而 斜率 9分又， ， 即 10分当时，； 11分当时， 13分故所求的取范围是 14分7(2011海淀一模理19). （本小题共14分）已知椭圆 经过点其离心率为. （）求椭圆的方程；()设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.解：（）由已知可得，所以 1分 又点在椭圆上，所以 2分 由解之，得. 故椭圆的方程为. 5分 () 由 消化简整理得：， 8分设点的坐标分别为，则. 9分 由于点在椭圆上，所以 . 10分 从而，化简得，经检验满足式. 11分 又 12分 因为，得，有，故. 即所求的取值范围是. 14分()另解：设点的坐标分别为，由在椭圆上，可得 6分整理得 7分由已知可得，所以 8分由已知当 ,即 9分把代入整理得 10分与联立消整理得 11分由得，所以 12分因为，得，有，故. 13分所求的取值范围是. 14分8(2011门头沟一模理2,4,619)（本小题满分13分）如图：平行四边形的周长为8，点的坐标分别为OxyAMNB（）求点所在的曲线方程；（）过点的直线与()中曲线交于点，与Y 轴交于点，且/，求证：为定值解：（）因为四边形是平行四边形,周长为8所以两点到的距离之和均为4,可知所求曲线为椭圆 1分由椭圆定义可知， 所求曲线方程为 4分（）由已知可知直线的斜率存在，又直线过点设直线的方程为： 5分代入曲线方程，并整理得点在曲线上,所以(,) 8分 , 9分因为/,所以设的方程为 10分代入曲线方程，并整理得 所以 11分 所以： 为定值 13分9（2011石景山一模理19）（本小题满分13分）已知椭圆经过点，离心率为，动点.（）求椭圆的标准方程；（）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.解：（）由题意得 因为椭圆经过点，所以 又 由 解得 ，. 所以椭圆方程为. 3分（）以OM为直径的圆的圆心为,半径，方程为 5分因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离 . 7分所以，解得.所求圆的方程为. 9分（）方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K，由平几知：.则直线OM：，直线FN： 11分由得. .所以线段ON的长为定值. 13分方法二：设，则 ，. ， . . 11分又 ， ， . 为定值. 13分10(2011朝阳一模文19)（本小题满分14分）已知，为椭圆的左右顶点，为其右焦点（）求椭圆的标准方程及离心率；（）过点的直线与椭圆的另一个交点为（不同于，），与椭圆在点处的切线交于点当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明解：（）由题意可设椭圆的方程为，半焦距为，因为、为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，所以， 又因为，所以故椭圆的方程为，离心率为5分（）以为直径的圆与直线相切. 证明如下：由题意可设直线的方程为，则点坐标为，中点的坐标为由得设点的坐标为，则所以，因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为，直线轴，此时以为直径的圆与直线相切当时，则直线的斜率.所以直线的方程为点到直线的距离又因为 所以故以为直径的圆与直线相切综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切14分11(2011丰台文18)（本小题共14分）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点()求椭圆的方程；()直线与椭圆相交于A，B两点，在上存在一点，上存在一点，使得，若原点在以为直径的圆上，求直线斜率的值解：() 依题意，可设椭圆的方程为 1分 ， ， 3分 椭圆经过点， 椭圆的方程为 5分() 记两点坐标分别为， 消y，得 7分 直线与椭圆有两个交点， ， 9分由韦达定理 ， 原点在以为直径的圆上， ，即 ，在上，在上 ， 10分又， ， 13分 14分12(2011海淀一模文19). （本小题共14分）已知椭圆 经过点其离心率为. （）求椭圆的方程；()设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点. 求到直线距离的最小值.解：（）由已知，所以， 1分 又点在椭圆上，所以 ， 2分 由解之，得. 故椭圆的方程为. 5分 () 当直线有斜率时，设时，则由 消去得， 6分， 7分设A、B、点的坐标分别为，则：，8分 由于点在椭圆上，所以 . 9分 从而，化简得，经检验满足式. 10分 又点到直线的距离为： 11分 当且仅当时等号成立 12分当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1 13分所以点到直线的距离最小值为 14分13(2011门头沟一模文18).（本小题满分14分）已知双曲线=1 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足 ，（I）求的值；（II）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.解 （I）根据题意，2分，又，又|P F|PF|=| FF|=， |P F|4， 得在区间（0,4）上有解， 所以4分 因此，又，所以6分（II）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即7分所以抛物线方程为 直线方程为9分 由（1）（2）两式联立，解得和11分所以弦长|AB|=1614分14(2011石景山一模文19)（本小题满分13分）已知椭圆经过点，离心率为，动点.（）求椭圆的标准方程；（）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，