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第九节闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理二、介值定理三、一致连续性定理四、小结思考题,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,你能举到反例吗？,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,f(x)在开区间连续,f(x)有间断点,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.,例2,证,因此方程在(-3,0),(0,1),(1,2)内至少各有一根,又因为三次方程至多只有三个根，因此这三个根都是实根，并且都在(-3,2)内,例.证明方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.,证记f(x)=ln(1+ex)2x,知f(x)在0,1上连续.,且f(0)=ln20,f(1)=ln(1+e)2,=ln(1+e)lne2,0,由定理1,至少存在一点x0(0,1),使得,故方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.,例4,证,由零点定理,三、一致连续性定理,定义,注：f(x)在I上一致连续在I上连续；但反之不一定成立。,定理（一致连续性定理）闭区间上的连续函数一定一致连续,例证明f(x)=1/x在(0,1内连续，但不是一致连续,证f(x)在(0,1内有定义，由初等函数的连续性知f(x)在(0,1内连续下证f(x)在(0,1内不一致连续：,四、小结思考题,五个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理；一致连续性定理,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再
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