平面向量的应用(在平面几何、解析几何和物理中的应用)

.考点4 平面向量的应用（在平面几何、解析几何和物理中的应用）1. (江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A，B在圆C上，且AB=，则的最大值是_.【考点】平面向量的应用. 【答案】8【分析】设，AB中点.，圆C：，圆心C(3，0)，半径CA=2.点A，B在圆C上，AB=，即CM=1.点M在以C为圆心，半径r=1的圆上.OMOC+r=3+1=4.，.2. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos,t).(1)若a,且=,求向量的坐标.(2)若a,求的最小值.【解析】(1)因为=,又a,所以.所以.又因为=,所以.由得,所以.所以.当时, (舍去),当时,所以,所以.(2)由(1)可知,所以所以当3已知(1)求a与b的夹角.(2)求|a+b|.(3)若,求ABC的面积.【解析】(1)因为,所以.又所以,所以,所以.又0,所以=.(2),所以.(3)因为与的夹角=,所以ABC=又|=|a|=4,|=|b|=3,所以4. （15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷）已知圆C过点P（1，1），且与圆M： +=（r0）关于直线x+y+2=0对称若Q为圆C上的一个动点，则的最小值为 【考点】向量在几何中的应用 【答案】-4【分析】设圆心C（a，b），则，解得，则圆C的方程为+ =，将点P的坐标代入得=2，故圆C的方程为+=2，设Q（x，y），则+=2，且=（x1，y1）（x+2，y+2）=+x+y4=x+y2，令x=cos，y=sin，则x+y=2sin（+）2所以=x+y24，则的最小值为4.5.(2015南昌模拟)已知向量，,在轴上一点使有最小值,则点的坐标为()A.(3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【答案】C【分析】设点,则,故,因此当=3时取最小值,此时.6.(2015宿州模拟)已知直线x+y=a与圆相交于A,B两点且满足,O为原点.则正实数a的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】由可得，又,故,所以点O到AB的距离d=,所以得|a|=2,又a0,故a=2.7.(2015赣州模拟)已知向量a=(cos,2),b=(sin,1),且ab,则2sincos等于()A.3B. 3C.D. 【答案】D【分析】由ab得cos=2sin,所以tan=.所以2sincos=.8. (2015江淮模拟)在ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,S为ABC的面积.若向量p=(S,a+b+c),q=(a+bc,1),满足pq,则tan=()A. B.C.2D.4【答案】D【分析】由pq得S=,即absinC=2ab+2abcosC,亦即sinC=1+cosC,tan=4.9. (2015临沂模拟)若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),则a与b一定满足()A.a与b的夹角等于 B.abC.abD.(a+b)(ab)【答案】 D【分析】因为ab=(cos,sin)(cos,sin)=cos(),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos().同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)(ab)=0,所以(a+b)(ab).10. (2015鹰潭模拟)已知P,M,N是单位圆上互不相同的三个点,且满足|=|,则的最小值是()A. B. C. D. 1【答案】B【分析】根据题意,不妨设点P的坐标为(1,0),点M的坐标为(cos,sin),点N的坐标为(cos, sin),其中0,则=(cos1,sin), =(cos1, sin),所以=(cos1,sin)(cos1, sin)= =2所以当cos=时, 有最小值.11.(2015宝鸡模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若=+(,R),则的值为()A. 2B. 1C.1D.2【答案】A【分析】如图,第11题图zl169令=a, =b,则=a+b,a +b,=a+b,所以=+=,由,得解得=,故.12. (2015银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(3,4),点A在第一象限,向量m=(1,0),记向量m与向量的夹角为,则sin的值为.【答案】【分析】设向量与x轴正向的夹角为,则+=+=,且有sin=,cos=,sin=sin()=sin=sincos=.13.(2015九江模拟)在锐角ABC中,AC=BC=2,=x+y(其中x+y=1),函数f()=| |的最小值为,则|的最小值为.【答案】【分析】如图所示:第13题图zl170设=,所以|=|=|,由于=,所以点D在直线BC上,所以f()=|,结合图形知:当ADBC时,f()取最小值,即=|sinACB=2sinACB=,所以sinACB=,由于ACB为锐角,所以ACB=,因为CA=CB,所以ABC为等边三角形,因为=x+y,且x+y=1,所以点O,A,B三点共线,所以当COAB时,| |取最小值,所以=|sinBAC=2sin=.14. (2015西安模拟)已知向量a=,=ab, =a+b,若OAB是等边三角形,则OAB的面积为.【答案】【分析】因为a=ab, =a+b,所以+=(ab)+(a+b)=2a=(1, ),所以|+|=2.所以等边三角形OAB的高为1,边长为,因此其面积为.15. (2015上饶模拟)已知a=(sinx,1),b=(cosx, ),若f(x)=a(ab),求:(1)f(x)的最小正周期及对称轴方程.(2)f(x)的单调递增区间.(3)当x时,函数f(x)的值域.【解】（1）因为a=(sinx,1),b=,所以ab=,所以f(x)=a(ab)=sinx(sinxcosx)+=sinxcosx+=sin2x+=2(sin2x+cos2x)=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为T=,令=+k(kZ),解得x=+(kZ),所以函数f(x)对称轴方程为x=+ (kZ).(2)因为f(x)=2sin,所以函数f(x)的单调增区间为函数y=sin的单调减区间,令+2k2x+2k(kZ),即得+kx+k(kZ),所以函数f(x)的单调增区间为 (kZ).(3)令2x+=t,所以原式化为f(t)=2sint,因为t,所以sint1,即得2f(t) ,所以函数f(x)在区间上的值域为.16. (2015南昌模拟)已知向量a=(,sinx+cosx)与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B,C,若有 f =,边BC=,sinB=,求ABC的面积.【解】(1)因为a与b共线,所以y=0,则y=f(x)=2sin,所以f(x)的最小正周期T=2,当x=2k+,kZ时, =2.(2)因为f =,所以2sin=,所以sinA=.因为0A,所以A=.由正弦定理得，又sinB=,所以AC=2,且sinC=,所以 =ACBCsinC=.17(2015成都模拟)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+c,ba),n=(ac,b),且mn.(1)求角C的大小.(2)若向量s=(0, 1),t=,试求|s+t|的取值范围.【解】(1)由题意得mn=(a+c,ba)(ac,b)=ab=0,即=ab.由余弦定理得cosC=.因为0C,所以C=.(2)因为s+t=(cosA,cosB),所以=sin+1.因为0A,所以2A,所以sin1.所以,故|s+t|.18. (2015九江模拟)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,m=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),且mn=0.(1)求角B的大小.(2)设函数f(x)=sin2xcos(A+C)cos2x,求函数f(x)的最小正周期,最大值及当f(x)取得最大值时x的值.【解】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以2si