立体几何中的向量方法向量在立体几何中的应用

立体几何中的向量方法向量在立体几何中的应用 摘要 高中数学教材进行了改革,增加了向量的内容,这为高中学生对立体几何知识的学习提供了一个代数化的方法。学生学习了空间向量的方法之后,可以采用他们比较熟悉的代数方法来进行立体几何的运算和证明;能够帮助学生更加牢固地掌握几何图形的性质;同时,可提高学生利用数学知识解决问题的能力以及丰富思维结构。 关键词 高中数学 向量 立体几何 高中数学的教材改革,把直线的方向向量和平面的法向量引入了教学。这一改革,为立体几何中的空间问题的解决,提供了非常实用和方便的解题工具。运用“形到形”的学习方法去完成综合推理立体几何习题,对大部分学生们来说不能轻松地掌握。向量的运算方法与代数的运算方法十分相似。学习了向量方法后,学生就可以使用其比较熟知的代数推理运算方法,来分析空间图形的问题。 一、空间向量在解立体几何问题中的优势 立体几何是一门研究空间几何图形的数学学科,它主要依据一些公理和概念,借助各种几何图形的不同变换,利用逻辑推理对空间图形的性质进行研究。在运用图形的不同变换对垂直、平行、距离、夹角等空间图形中的问题进行处理时,需要很强的技巧性,难度比较大,学生们很难找到准确的切入点。在学习立体几何时利用向量的方法会有十分显著的效果。 向量的知识在高中阶段有着十分重要的价值和地位,它在解决立体几何问题时具有其传统的几何知识以及方法无法替代的优势。在解决立体几何问题中遇到的很多具有较大难度的问题,运用向量的有关知识进行简单的公式变形,就可以轻松地解决。空间向量的知识为学习立体几何中遇到的使用传统的纯几何方法比较费时费力,同时有着很强的随机性的问题,提供了比较便捷简单的常用方法,可以大大地降低解题的复杂程度。这为高中学生对立体几何的学习注入了新的活力。 例如,如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点. (1)求证:MNAB,MNCD;(2)求MN的长; (2)求异面直线AN与CM夹角的余弦值. 利用空间向量方法的解题过程为: 通过这道例题的解题分析可以发现,使用空间向量的方法求角,能够避免根据定义求角的方法必须添加大量的辅助线,找到所求的角这一解题难点。利用空间向量的方法,只需建立规范的直角坐标系,设出几个对应的向量单位,然后直接去求两个向量的夹角就能简单地解决这个问题,把题目的难度大大的降低了。 二、教学中“空间向量”内容的教学优化 在高中“空间向量”这一部分教学中,最为实用和简单的工具,就是空间向量的坐计算,可以在教学中适当地补充些内容,让学生充分了解到空间向量坐标运算方法在解决立体几何问题中的作用。 (1)通过计算线线所在的两个向量所满足的线性关系来证明线线的平行关系。(2)通过计算两条直线所在的两个向量的数量积为零来证明线线的垂直关系。(3)通过计算出一条直线所在的向量与两条相交直线所在的平面的所在的向量的数量积为零,来证明直线与平面相垂直。(4)计算一个平面的法向量。(5)通过证明直线与平面的法向量相垂直,来证明出直线与平面相平行。(6)通过证明出一个平面的法向量与另一个平面相垂直,来证明出平面与平面的平行。(7)通过计算出两个平面的法向量其数量积为零,来证明平面与平面的垂直。(8)计算出两条直线所在的向量形成的锐角的值,来计算出异面直线角的值。(9)斜线与平面的法向量形成的锐角同斜线与平面所成的角度能够互余。(10)在计算直线与平面的距离、平面到平面的距离时,都可以转化为求点到平面的距离的问题上来,运用向量的方法来解决。(11)利用向量法计算异面直线之间的距离。 虽然在教学中补充这些结论和让学生能够熟练地应用会耗费一定的课时,但补充的结论能够让学生在处理立体几何问题迅速地发现空间向量解决题的共通性,快速简洁地处理问题起到明显的实际应用效果。空间向量可以把抽象的立体几何问题转变为代数问题,充分地运用数形结合的解题思想,把立体几何也全部融入到高中数学的综合运用之中。 三、向量方法在立体几何中的应用策略 学习向量知识的重要目标,是“着重培养学生运用向量这一代数方法去处理立体几何中的问题能力”,把立体几何题中复杂的逻辑推理转化成空间向量的代数运算。加强几何与代数之间的联系,实现立体几何问题解题的程序化、模式化,尽量减少添加辅助线,从而把解题难度降低。 使用空间向量方法来处理立体几何中的问题,首先,必须根据遇到的立体几何问题的情况,采用恰当的方式,把点、线、面等问题中涉及到的所有元素利用空间向量的方法表示出来,把几何图形和空间向量之间的联系建立起来。然后,利用空间向量的方法进行运算,证明出所有相对应的元素之间的关系(夹角和距离等问题)。最后,把运算的结果进行几何意义的解释,实现对立体图形问题的解决。 如果几何图形中有较多的垂直关系,同时建立空间直角坐标系比较容易时,应该建立空间直角坐标系,利用相应的坐标把向量表示出来。如果几何图形中缺少垂直关系或者很难在几何图形上建立空间直角坐标系,可根据已知条件利用三个不在同一个平面的向量作为基向量,把空间向量利用基向量表示出来,并根据条件计算出这三个向量之间数量积和模数的关系。 使用空间向量的方法解决空间角和距离问题时,可以不建立出空间直角坐标系。根据空间向量的基本定理,选取出不在同一个平面的三个向量当作基向量。同时,为了方便向量内积的计算,所设的三个基向量的模以及三个向量之间的数量积,已知条件必须给出或者可以根据所给条件计算出。 把向量知识引入到解决立体几何问题后,可以极大地拓宽解题思路,让立体几何问题的解决有规律可循。学生掌握一定的向量公式后,高中学生可以利用其很好地解决立体几何问题。虽然在解题时会有较大的计算量,但仍然能够减轻学生的学习负担。向量在解决立体几何问题中,有着极大的应用效果。 _: 1岳彩虹.数学向量教学应注意的问题J.新作文(教育教学研究),xx,(21). 2苏洪雨,江雪萍.高中数学课程标准中的“空间向量”J.数学通讯