机械工程控制基础课件-第二章.ppt

机械工程控制基础,学时：40教师：谭心、钟金豹、张文兴、邢静宜学院：机械工程学院,CyberneticsFoundationforMechanicalEngineering,第二章系统的数学模型,对建模的要求：准确、简化,传递函数状态空间表达式,基本概念：1.微分方程；2.传递函数；3.方框图；4.相似原理,模型：,基础章节,一.系统数学模型基本概念，应用机械动力学、电子学等基础知识建立系统数学模型的基本方法，典型例子；二.传递函数的基本概念，其数学、物理意义，求取方法，输入输出信号与传递函数的关系；三.系统方框图，闭环控制系统及其传递函数，方框图的等效简化，工程中典型的机、电系数的传递函数。,本章内容,2.1系统的微分方程,一.线性系统与非线性系统：1.线性特性：叠加原理，多个输入量同时作用产生的响应，可单个处理叠加.2.非线性：实际只是一定的工作范围内，保持线性关系。特点：不能叠加线性化（一定的范围内）,二.线性系统微分方程的列写设线性定常系统的输入为，输出为，则描述系统输入输出动态关系的微分方程为：,例1：弹簧、质量、阻尼机械系统，输入外力，输出位移，试写出系统的微分方程。解：,例2：m-k振动系统，输入外力，输出，求其动力学方程。,三.系统非线性微分方程的线性化（略）P31页四.列写系统微分方程的一般步骤：1.分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输入量和输出量。2.从系统的输入端开始，依物理定律，依次列写系统各元件的动力力学方程，其中要考虑相邻元件间的负载效应。3.将各方程式中的中间变量消去，求出输入量输出量间的微分方程4.在列写微分方程时，对非线性项进行线性化处理。,2.2拉普拉斯（Laplace）变换,1.熟悉L变换的定义2.典型函数的拉氏变换3.拉氏变换的基本原理4.部分分式展开式及待定系数法5.查L表,1.方便求解，以时间表示的微分方程变为以S表示的代数方程2.对零初始条件下，引入传递函数和传递矩阵的概念，直接在复（频）域中研究系统的动态特性，以及对系统进行综合、校正，具实际意义。,要求,若f(t)为t的函数，且t0时，f(t)=0，则f(t)的拉氏变换定义为：,象函数,一.拉氏变换的定义,原函数,1.单位阶跃函数,二.一些常用函数的拉氏变换,2.单位脉冲函数,3.单位斜坡函数（速度函数）,4.指数函数.,（为正实数）,5.正弦函数.,（为正实数）,补：6.余弦函数.同理：7.抛物线函数.（加速度函数）,原函数f(t)象函数F(S),附：拉氏变换表,续：拉氏变换表,1.叠加性质：,如：,三.常用的拉氏变换性质：（不作证明）,2.微分定理：,若这些初始值为0，则：,如：,3.积分定理：,若这些初始值为0，则：,4.位移定理：如图原函数f(t)沿时间轴平移，为,如：,5.初值定理：时间函数f(t)的初值为只有f(0)存在时才能应用，用来确定系统的初值，而勿需知道原函数。,如：求,或,6.终值定理：时间函数f(t)的稳定值（终值）为,如：求：,或,象原,为根，可为实、复数,1.分母B(S)无重根,四.拉氏反变换,繁,简单方法：原函数典型象函数叠加f(t),查L表,如.试求：的拉氏反变换解：,为复数中的实数部分,常遇到如下形式的有理分式：,使分母为0的S值极点使分子为0的S值零点,可通过部分分式展开法求1.只含不同单极点的情况,为极点处的留数,将X(S)进行，得：Eg.试求的拉氏反变换,解：,2.含共轭复数极点情况：,令上式两边实、虚部相等，可求得可通过配方，化成正（余）弦象函数形式,如.试求：的拉氏反变换解：,的两个根为：,将X(S)式两边同乘，并令及得,故：,3.含多重极点的情况,根据,Eg.试求：的拉氏反变换,故：,解：,如.解方程：其中，,五.用拉氏变换求常系数线性微分方程,解：微分定理,由上例可见，用L解微分方程的步骤：（1）对微分方程进行L（2）做因变量的求出微分方程的时间解上例中，假设初始条件为0,如：系统最初是静止的，假定有一单位脉动使系统开始运动，求系统的运动规律。,令，,可见：在冲击力作用下，系统运动为正弦振动，振幅是角频率为,则,求解微分方程一般步骤：1.考虑初始条件，对微分方程L，时域微分方程S域的代数方程。2.求解代数方程，得到在S域的解3.求S域的，微分方程的解,如.已知：,为阶跃函数，幅值8N,求：此系统的输出响应=?,解：,作业,（2）求：的拉氏反变换,（1）已知象函数，求原函数的初值和终值？,2.3传递函数数学模型,传递函数的定义,定义：当系统初始条件为0时，系统输出量与输入量的拉氏变换之比。,当初始条件和为0时，对上式两边做拉氏变换，得传函：,(1)传函的概念只适用于线性定常系统。(2)传函原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。(3)传函的形式只取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关，且不能具体表达系统或元件的物理结构。(4)传递函数是复变量s的有理真分式函数，所有的系数均为实数。(5)一定的传函有一定的零、极点分布图与之对应。,传递函数的性质,零点和极点,传函可写成如下形式（零、极点增益模型）：,当时，均能使，故称为的零点。,当时，均能使取极值，故称为的极点。,K系统的放大倍数。传函若有复数零、极点，则必为共轭复数。零点、极点和放大倍数决定系统的瞬态性能和稳态性能。,求性能指标的主要途径,线性常微分方程,时间相应,求解,性能指标,观察,传递函数,频率特性,拉斯变换,s=jw,傅里叶变换,拉斯反变换,估算,频率响应,稳、快、准,令，可求得系统在时域内的输出。量纲取决于系统的输入与输出，可有、可无。如：1.2.,系统时域输出,无源网络实例,例1：已知一无源网络，如右图，试列出网络微分方程。,解：据基尔霍夫定律，列出微分方程如下：求解得：,机械转动系统实例,例2：由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械转动系统，转动惯量J，粘性阻尼c，如右图所示，试列出外力矩M(t)为输入，角位移(t)为输出的数学模型。列出微分方程如下：,典型环节的传递函数,系统的微分函数和传函可能是高阶的，但不管阶次有多高，均可化为零阶、一阶、二阶等环节。,分析：1)分子分母有零根，分母出现。2)分子分母有实数根，对应于zi=-wi，pi=-i的分子与分母的因式可变为：其中,典型环节的传递函数,系统的微分函数和传函可能是高阶的，但不管阶次有多高，均可化为零阶、一阶、二阶等环节。所以：,分析：3)分子分母有共轭复根：,典型环节的传递函数,由于上式包含六种因子，所以任何控制系统都可看作是这6种因子表示的环节在某种情况下的串联组合。,1.放大环节一阶微分环节2.二阶微分环节3.积分环节,4.惯性环节5.振荡环节6.延时环节,放大环节（比例环节、零阶环节）,它的输出量以一定的比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后。,动力学方程：,传递函数：,例1：如图齿轮传动中，若忽略啮合间隙，则主动齿轮与从动齿轮的转速有：,惯性环节（一阶环节）,在这类环节中，总含有储能元件，以致对于突变形式的输入来说，输出不能立即复现，使它的输出量的变化落后于输入量。,动力学方程：,传递函数：,惯性环节的性质取决于参数T。,，T时间常数，表示环节的惯性。,例1:质量-弹簧-阻尼系统，m很小，忽略不计,惯性环节（一阶环节）,例2：,积分环节,输出量的变化速度等于输入量，即：输出量与输入量间呈积分关系。,若输入为单位阶跃信号：,对阶跃输入，在t=T时，输出=输入，有滞后。,积分环节,例1：齿轮齿条传动,D,n(t),x(t),传函：,例2：电容器充电的电流i(t)与电容电压uc(t)的关系,传函：,积分环节,例3：如图所示液压缸，输入为流量q，输出为活塞位移x。,传函：,振荡环节（二阶振荡环节）,包含2种形式的储能元件，且储存能量可以转换。,微分方程：,令,振荡环节的所有特性取决于2个参数：,称为特征方程.,（1）只有当阻尼比时，有共轭复根（振荡）,（2）若，有实根不产生振荡分解2个惯性环节,振荡环节（二阶振荡环节）,令,例1：RLC电路,令,2.4传递函数方框图及其简化,方框图：不包含与系统物理结构有关的信息，不同的物理系统，可用同一方块图表示。,输入,输出,比较点,分支点,?,?,?,方框图的运算法则,1.串联运算法则：每个串联环节的传函乘积。,方框图的运算法则,2.并联运算法则：每个并联环节的传函代数和。,方框图的运算法则,3.反馈运算法则：,方框图的变换,原则：移动前后输出信号不变。1.分支点移动：前移：后移：,方框图的变换,2.相加点移动：后移：前移：,方框图的变换,方框图的变换,方框图的简化,方框图的简化,方框图的简化,方框图的简化,上例可直接写出：,作业,试求出图示系统的传递函数：,2.5反馈控制系统的传递函数,一般系统：微分方程,传函,L,复杂系统：已知方框图,传函,典型控制系统方框图：,令，断开反馈信号线,一.系统的开环传函,2.5反馈控制系统的传递函数,二.被控信号对于控制信号的闭环传函：,2.5反馈控制系统的传递函数,若，为单位反馈系统：,三.被控信号对于干扰信号的闭环传函：,2.5反馈控制系统的传递函数,令,闭环优点：干扰引起误差最小。,若开环系统无法消除，全部形成误差,若：系统同时受到信号和信号的作用,2.5反馈控制系统的传递函数,应用叠加原理，可求出被控信号为：,故：只要知道、，即可求出总输出：,四.偏差信号对于控制信号的闭环传函：,2.5反馈控制系统的传递函数,令,五.偏差信号对于干扰信号的闭环传函：,2.5反馈控制系统的传递函数,若控制信号对于干扰信号同时作用于系统，应用叠加原理，得偏差信号为：,2.5反馈控制系统的传递函数,故：只要知道、，即可求出总偏差：,规则：所有闭环传函的公式中，分母均为，分子为输入输出所经过传函的乘积。,例：试简化图示控制系统的方框图，并求、,2.5反馈控制系统的传递函数,2.5反馈控制系统的传递函数,2.5反馈控制系统的传递函数,2.5反馈控制系统的传递函数,2.6相似原理,2.6相似原理,相似系统：相同的数学模型来描述的物理系统相似量：在微分方程或传函中占相同位置的物理量,机械、电气、液压系统中：1、阻尼电阻流阻耗能元件2、质量电感流感3、弹簧电容流容体系中增加一个储能元件，其内部增加一层能量交换，微分方法就增高一阶。,储能元件,看系统中有几个储能元件，就是几阶系统但要注意：每储能元件是否独立，如中间图，若将C去掉，K1，K2只起一个弹簧作用二阶。实际中的系统很复杂，往往不能仅凭表面上的储能元件的个数决定微分方程的阶数。,2.6相似原理,对物理系统，根据物理原理，选定系统输入和输出微分方程传函,2.7物理系统传函的推导,切削深度：apo切削力：F变形：y刀架变形y反馈：实际切削深度1）以名义切深u0为输入，刀架变形位移y为输出：则实际切深：切削力公式：拉斯变换：,切削力与切削深度之比切削力与切削深度变化率之比切削深度变