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文档简介

极坐标系下二重积分的计算,二、二重积分的极坐标转化及计算,一、极坐标与直角坐标系的关系,什么是极坐标?,在平面内取一个定点O，,引一条射线OX，,这样就建立了一个极坐标系。,叫做极点。,叫做极轴,对于平面内任一点M,记|OM|=r,r,（r，）就叫做点M的极坐标。,XOM=,平面上任一点,（r，）,一、极坐标与直角坐标系的关系,两坐标系中变量间关系：,设积分区域D为平面有界区域,并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个,则区域D被分割情形见下图.,二重积分中被积函数,求极坐标下的积分元素,的表示方法。,二、二重积分的极坐标转化及计算,1、二重积分的极坐标转化,图中分割的其中一小块的面积为,略去高阶无穷小,则有,rr,故d=rdrd.,于是,二重积分,二、极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形,1、区域特征如图,2、区域特征如图,极坐标系下区域的面积,3、区域特征如图,例1将,化为在极坐标系下的二次积分。,1）,解：,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,2）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,3）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,4）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,例2求D:x2+y2R2(R0).,解在极坐标下D:0rR,02.,利用极坐标计算二重积分,例3求D:x2+y22ax(a0).,解积分区域D如图,在极坐标下D:0r2acos,例4求(a0).,解积分区域D见图,采用极坐标计算,原式=,例5求的值.,解考虑区域D:0x+,0y+,记,故,小结,掌握极坐标系下二
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