高等数学下册第八章第七节-方向导数与梯度

,第八章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、问题的提出,实例一一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行,问题：何为温度变化最剧烈的方向？,示意图,实例二西点军校地形图,观察支流的流动方向,一、方向导数,定义:若函数,则称,为函数在点P处沿方向l的方向导数.,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点P可微,得,故,对于二元函数,为,)的方向导数为,特别:,当l与x轴同向,当l与x轴反向,向角,例1.求函数,在点P(1,1,1)沿向量,3)的方向导数.,例2.求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝x增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点P的切向量为,例3.设,是曲面,在点P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P处沿,求函数,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2.梯度的几何意义,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.,则L*上点P处的法向量为,同样,对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,指向函数增大的方向.,实例1的求解,金属板上各点的温度为,各点的梯度为,等值线方程为,蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点,结论:,等高线图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动,结论:,3.梯度的基本运算公式,例4.,证:,试证,三、物理意义,函数,数量场(数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),如:温度场,电位场等,如:力场,速度场等,(向量场),注意:任意一个向量场不一定是梯度场.,例5.,已知位于坐标原点的点电荷q在任意点,试证,证:利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,思考与练习,1.设函数,(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,2.P73题16,曲线,1.(1),在点,解答提示:,M(1,1,1)处切线的方向向量,2.P73题16,P512，3，6，7，8，9，10,作业,备用题1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意x,y,z具