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二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,一、函数的连续性,定义设变量u从它的初值u1改变到终值u2，终值与初值之差u2-u1称为变量u的增量，记作u=u2-u1。,注意：增量可以是正的，也可以是负的。,当自变量x从x0改变到x0+x时，函数y=f(x)相应的增量为y=f(x0+x)-f(x0)。,1.变量的改变量：,2、函数连续性的定义,等价定义:,在,的某邻域内有,则称函数,设函数,且,定义,函数,在点,(1),在点,(2)极限,(3),连续的含义:,存在;,有定义,即,存在;,连续定义的语言表达,3.左连续与右连续,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该,区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,4、连续函数,例如,在,上连续.,有理整函数,又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,例1.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,1.定义设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列,这样的点,情形之一函数f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,思考与练习,1.讨论函数,x=2是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,答案:x=
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