行列式的计算方法

第八章 欧氏空间,小结与复习,本章知识结构,一、欧氏空间的定义定义1 设V是实数域R上的向量空间. 如果有一个映射f : VVR，(, ) f(, )，为方便，将f(, )记作 , ，它具有以下性质：1) 对称性：, , , , V；2) 线性性：k11 +k22 , k11 , + k2 2 , ，k1, k2R , 1 , 2, V；3) 非负性：对任意V，有, 0, 当且仅当0时, , 0， 那么, 称为向量与的内积，V叫做对这个内积构成一个欧几里得空间, 简称欧氏空间.,由欧氏空间的定义, 容易得到下面简单性质: 6) 0, , 00； 7) , kk, ； 8) = ai bj i, j. 这里, , i, j均是欧氏空间中的向量，k , ai, bjR, i1, 2, t，j1, 2, s.,定义5 设, 是欧氏空间V中的两个向量, 与的距离d (, )定义为 d ( , )| |.,欧氏空间中向量的长度、夹角和距离定义2 设是欧氏空间的一个向量, 非负实数, 的算术平方根叫做的长度, 用符号|表示, 即,定义3 设和是欧氏空间的两个非零向量, 与的夹角由以下公式定义：,柯西施瓦兹不等式定理8.1.1 在一个欧氏空间里, 对于任意两个向量, , 有不等式 , 2 , , . (6) 当且仅当与线性相关时, (6)才取等号. 向量的正交定义4 如果向量与的内积为零, 即 , .那么就称与是正交的, 记为. 由定义可看出, 零向量与任一向量都正交.,定理8.1.2 欧氏空间里的向量有如下性质：(i) | + | | | + | | (三角不等式)；(ii) 当且仅当与正交时, | + |2| |2 + | |2（通常称(ii)为欧氏空间的勾股定理）. 定理8.1.3 设, , 是欧氏空间V中任意三个向量, 则(i) d (, )d (, ); (ii) d (, ) 0, 当且仅当 时等号成立; (iii) d (, ) d (, ) + d (, ).,三、度量矩阵设V是一个n维欧氏空间, 取V的一个基1, 2, , n, 对称矩阵A(aij)nn称为基1, 2, , n的度量矩阵. 其中aij i, j , (i, j1, 2, , n) 定理8.2.1 n维欧氏空间V的两个基的度量矩阵是合同的, 且度量矩阵是正定的.,四、正交基定义2 在n维欧氏空间中, 由n个向量组成的正交向量组称为正交基, 由单位向量组成的正交基称为规范正交基. 设1, 2, , n是一个规范正交基, 由定义有,它的度量矩阵AI, 换句话说, 一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵. 定理8.2.3 n维欧氏空间V中任一正交向量组都能扩充成一正交基.,五、正交变换,定义1 欧氏空间V的线性变换称为正交变换, 如果它保持任意两个向量的内积不变, 即对任意, V，有 (), (), .,定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变换, 则下面四个命题等价. (i) 是正交变换； (ii) 如果1, 2, , n是规范正交基, 那么 (1), (2), , (n)也是规范正交基； (iii) 在任一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵； (iv) 任意的V, | ()| |. 正交变换的乘积还是正交变换；每个正交变换都是可逆线性变换，且其逆变换还是正交变换. 正交矩阵的行列式等于1或1.,六、对称变换 定义2 是欧氏空间V的一个线性变换. 如果对V中任意两个向量, , 都有 (), , ()，那么称为一个对称变换. 定理8.3.2 n维欧氏空间V的线性变换为对称变换的充分必要条件是在任一规范正交基下的矩阵为对称矩阵.,七、子空间与正交性,设V是欧氏空间, 当然V是向量空间. 若W是向量空间V的子空间, 则W对V的内积运算显然也作成V的一个欧氏子空间, 简称子空间. 定义1 设W1, W2是欧氏空间V的两个子空间, 如果对于任意的W1, W2, 恒有 , 0. 那么称W1与W2正交, 记为W1 W2.,设V. 如果对任意的W1, 恒有 , 0，那么称与子空间W1正交, 记为 W1. 设V. 若 ，则0. 因此，当W1W2时，W1W20.定理8.4.1 如果子空间W1, W2, , Ws两两正交, 那么和 W1W2Ws是直和.,八、正交补的概念及其性质定义2 子空间W2称为子空间W1的一个正交补, 如果W1W2, 并且W1W2V. 定理8.4.2 n维欧氏空间V的每一个子空间W都有唯一的正交补. W的唯一的 正交补记为W定理8.4.3 设W是欧氏空间V的子空间. 则W恰由V中与W正交的所有向量组成. 即 WV | W .,九、欧氏空间的同构定义3 欧氏空间V与V 称为同构的, 如果有V到V 的一个双射, 且适合1) () () ()；2) (k)k ()；3) (), (), . 这里, V, kR. 这样的映射称为V到V 的同构映射. 定理8.4.4 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数,十、利用正交矩阵化实对称矩阵为对角形 为求出正交矩阵T，利用6.6中的方法先求出一个可逆矩阵P，使P1AP是对角形矩阵. 因为P的每个列向量都是A的特征向量，由