CH10-2一阶微分方程

1,第十章微分方程与差分方程10.1微分方程的基本概念10.2一阶微分方程10.3一阶微分方程在经济学中的综合应用10.4可降阶的二阶微分方程10.5二阶常系数线性微分方程10.6差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构10.7一阶常系数线性差分方程10.8二阶常系数线性差分方程10.9差分方程的简单经济应用,2,第二节一阶微分方程,3,一、可分离变量的微分方程与分离变量法,4,可分离变量的微分方程的解法,分离变量,两边积分，得,则,如果,注：,方程的通解,必须予以补上。,在分离变量时，解,可能它不包含在,5,例1求解微分方程,解分离变量，得,两边积分，即得,因而，通解为,或者,6,例求解微分方程,解,时分离变量，得,两边积分得，,.这里,是任意常数。,所以,即,令,，得,此外，,也是方程的解.,因此原方程的通解为,其中,为任意常数.,练习.解微分方程,解:当y0时分离变量得,两边积分,得,即,(C0),另外y=0也是原微分方程的解，因此通解为,(C为任意常数).,练习2：求解微分方程,解:,故有,即,是微分方程的通解.,微分方程的通解可以用隐函数表示.,注:,9,变量分离方程的微分形式:,也是解。,10,例求解方程,并求满足初始条件,的特解.,解当,两边积分得,因而，通解为,(这里c为任意常数),此外，方程还有解.,时，,将,代入通解中，得.,因此所求特解为,11,解:当y0时分离变量得,另外y=0也是原微分方程的解，因此通解为,(B为任意常数).,练习：下列方程那些是可分离变量的微分方程？,是,不是,不是,是,是,是,y1dy2xdx,dy(3x25x)dx,y(1x)(1y2),10ydy10 xdx,13,第二节一阶微分方程,14,二、齐次微分方程,形如,的方程叫做齐次微分方程.,例如，,都是齐次微分方程.,15,令,解法:,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,分离变量:,16,如果,有实根,那末,（i=1，2，k）也为方程的解。,17,例解微分方程,解,代入原方程得,则,可分离变量的方程,若,两边积分,得,则,另外，方程还有解,即,18,所以，方程的通解为,(C为任意常数),所以，原方程的通解为,(C为任意常数),19,例求解微分方程,解,可分离变量的方程,整理得,20,第二节一阶微分方程,21,如果方程,及,的一次有理整式，,则称其为n阶线性微分方程.,的左端为,22,一阶线性微分方程标准形式:,若,若,称为非齐次线性微分方程.,称为齐次线性微分方程;,考察下列方程是否线性方程？,是非齐次线性方程,y3x25x,是非齐次线性方程,23,一阶线性微分方程标准形式:,若,若,称为非齐次线性微分方程.,称为齐次线性微分方程;,考察下列方程是否线性方程？,线性的;,非线性的.,24,齐次方程的通解为,分离变量,积分,猜想：非齐次微分方程的解应该具有形式,25,常数变易法:,则,令,两边积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,26,通解,代入原式,解出,常数变易法,27,例5解方程,解1:先解,即,积分得,即,用常数变易法把C换成u(x)，即令,则,代入非齐次方程得u=(x+1)1/2,解得,故原方程通解为,28,例5解方程,解2:公式法,由通解公式得,29,例：解方程,解:先解,即,积分得,即,令,则,代入非齐次方程得,代入(*)式得原方程通解为,30,例.解方程,注意形式,31,注其通解,齐次线性微分方程的通解,非齐次线性微分方程的特解,32,1.可分离变量的方程,解法要点：（1）判断类型（2）分离变量,或,2.齐次方程,解法要点：（1）判断类型（2）作变量变换,3.一阶线性微分方程,若,若,称为非齐次线性微分方程.,称为齐次线性微分方程;,解法要点：（1）判断类型（2）常数变易法或公式法,33,练习：解下列微分方程（1）（2）（3）,34,解：原方程可写成,分离变量得,两边积分得uln|u|Cln|x|或写成ln|xu|uC,练习1（P378-例4）：解方程,35,练习2,分离变量得：,36,练习3：解方程,解:将方程改写为,令,代入方程（1）得,解得,所以原方程通解为,与（1）对应的齐次方程的通解为,（1）,另外，,y=0也为解。,37,练习：判别下列方程类型.,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,38,第二节一阶微分方程,1、可分离变量的微分方程2、齐次方程3、一阶线性微分方程4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性,39,作业P384,1，2（偶数），3（奇数），4（偶数），6，7,40,注1.其通解,齐次线性微分方程的通解,非齐次线性微分方程的特解,注2.常数变易法也是一种变量变换的方法.,解分离变量得：,两端积分得：,例2,解：,由条件：,衰变规律,解：,一阶线性非齐次微分方程,练习,例6求方程,的特解.,满足初始条件,解分离变量,得,两边积分，得,于是原方程的通解为,又将初始条件,故满足初始条件的特解为,代入通解中,得,例7已知需求价格弹性为=-1/Q2,且当Q=0时,p=100.试求价格p与需求Q的函数关系p=f(Q).,解由需求价格弹性的定义,有,这是变量可分离的方程,移项化简，得,两边积分,得,即,又将初始条件Q=0时,p=100代入上式,得c1=100,故需求函数为,练习题,练习题答案,练习:,解法1分离变量,即,(C0),解法2,故有,积分,(C为任意常数),所求通解:,例.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,例解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,例,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y)的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程:,是,不是,不是,是,是,是,y1dy2xdx,dy(3x25x)dx,y(1x)(1y2),