z变换与序列傅立叶变换.ppt

第二章z变换与序列傅立叶变换,2-1引言2-2z变换的定义及收敛域2-3z反变换2-4z变换的基本性质和定理2-5z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系2-6序列傅立叶变换及性质2-7离散系统的系统函数及频率响应,2-1引言,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法1.连续时间信号与系统：信号的时域运算、时域分解、微分方程求解、卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算、卷积和、差分方程的求解。,二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：z变换序列傅立叶变换（DTFT）离散傅立叶变换DFT(FFT)。z域分析、频域分析。,一、z变换定义,2-2z变换的定义及收敛域,二.收敛域1.定义:使序列的z变换收敛的所有z值的集合称作的收敛域。,2.收敛条件：收敛的充要条件是绝对可和。,为使上式成立，就须确定取值的范围，即收敛域。由于为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即,其中，称为收敛半径，可以小到0，而可以大到。式（2.1.4）的平面表示如图2.1.1所示。因为是复变量的函数，所以我们用复数平面来表示。,常见的一类变换是有理函数，即,使的那些值称为的零点，而使的那些值称为的极点。零点、极点也可能包含处的点。由于在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。,(1).有限长序列,2、序列形式与其z变换收敛域的关系,(3).右边序列,(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：,(5)左边序列,(6)双边序列,其收敛域应包括即充满整个z平面。,三、常用序列的z变换1、单位样值序列,2、阶跃序列,收敛域为,3、单位斜变序列,将上式两边对求导得，,两边同乘以得，,收敛域,当时，这是无穷递缩等比级数。,4.右边指数序列,收敛域：,*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。,5、左边指数序列,当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛,收敛域：,*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。,2-3z反变换一.定义：已知及其收敛域,反过来求序列的变换称作z反变换。,记作：,z变换公式：,c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.,0,c,1、部分分式展开法2、幂级数展开法（自学P43-45）3、留数法（自学P45-47）,二.求z反变换的方法,部分分式法有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。,因此，可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；zk为的各单极点，为的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：,通常，可表成有理分式形式：,解：,的z反变换。,例利用部分分式法，求,2-4z变换的基本性质和定理,*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。,1.线性,如果,则有：,例2-10已知,求其z变换。,解：,2.序列的移位,如果则有：,例2-11求序列的z变换。,3.z域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,4.序列的线性加权(z域求导数),如果,，则,证明：,即所求序列为,5.共轭序列,如果,，则,证明：,6.翻褶序列,如果,，则,证明：,7.初值定理,证明：,8.终值定理,证明：,又由于只允许在处可能有一阶极点，故因子将抵消这一极点，因此在上收敛。所以可取的极限。,9.有限项累加特性,证明：,差分：,累加：,10.序列的卷积和(时域卷积定理),证明：,例2-12,解：,11.序列相乘(z域卷积定理),其中,c是在变量v平面上，公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。,12.帕塞瓦尔定理(parseval),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c在公共收敛域内。,如果,则有:,*几点说明：,这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔定理,1.当为实序列时,2.当围线取单位圆时，则,3.当时,2-5z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系,2.5.1、z变换与拉氏变换的关系设为连续信号，为其理想抽样信号,根据z变换的推导过程，可知：当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。即：或者：,s平面用直角坐标表示为：z平面用极坐标表示为：又由于所以有：,因此，；这就是说，z的模只与s的实部相对应,z的相角只与s虚部相对应。,0,0,(1).与的关系,，即s平面的虚轴，即z平面单位圆；，即s的左半平面，即z的单位圆内；，即s的右半平面，即z的单位圆外。,jImz,Rez,0,jImz,Rez,(2).与的关系（）,即s平面的实轴即z平面正实轴；即s平行实轴的直线即z始于原点的射线；即s宽的水平条带即整个z平面。,2.5.2z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴的特例,因而映射到z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为z平面的单位圆的参数，表示z平面的辐角，且。,所以，序列在单位圆上的z变换为序列的傅氏变换。,2.5.3常用信号的z变换与拉氏变换、傅氏变换,2.5.1定义,反变换:,2-6序列的傅立叶变换（DTFT）离散时间傅立叶变换,收敛条件：,2.5.2DTFT的性质（1）周期性,由序列的傅立叶变换公式：其中的M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。,（2）DTFT的线性,设那么式中a和b为常数。,（3）DTFT的时移和频移特性,（4）时域卷积定理,设则,（5）频域卷积定理,设则,（6）帕塞瓦尔定理,能量守恒,（7）序列的翻褶与共轭,(8)DTFT的共轭对称性,共轭对称序列共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。共轭反对称序列共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。序列可以分成共轭对称部分与共轭反对称部分,此时：对上面两式取DTFT，得到结论：序列的共轭对称部分对应DTFT的实部，序列的共轭反对称部分对应DTFT的虚部。,共轭分解,序列共轭分解，对应频谱的实部和虚部分解,序列的实部和虚部分解，对应频谱的共轭分解,响应的序列可由z反变换求得,2.零状态响应的z域求解,在零状态条件下，即,3.全响应的z域求解,线性移不变系统为单位抽样响应,称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。,2.7离散系统的系统函数及频率响应,2.7.1系统函数的定义,2.7.2系统函数和差分方程的关系,线性移不变系统常用差分方程表示：,取z变换得：,对上式因式分解，令,得：,2.7.3系统的频率响应系统的单位抽样响应的傅氏变换也即单位圆上的z变换，称作系统频率响应。,也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。,对于线性移不变系统：,正弦稳态响应,当系统输入为正弦序列时，则输出是同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度的加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。,输入：,系统：,响应：,2.7.4利用的零极点分析系统,1系统的稳定性和因果性判定,图2.7.1因果稳定系统函数收敛域,一线性移不变系统稳定的充要条件是必须满足绝对可和：。z变换的收敛域由满足的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为；而因果稳定系统的系统函数收敛域应包含，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。,2由零极点图分析系统的频率响应,模：,相角：,2.几点说明(