债券价格波动性的衡量

影响债券价格变动的因素：发行人的信用质量经济的周期债券的供求关系利率的变动,债券价格的利率敏感性,利率变动是引起债券价格变化的最常见因素基本问题：利率变化是如何引起债券价格波动？如何测量债券价格的波动？,第五章债券价格的利率敏感性,本章内容提要：价格波动与票面利率、到期时间和初始收益率的关系价格波动的衡量-利率敏感性价格波动的测量方法：基点价格值法（价格的相对百分比）久期法凸率法,第五章债券价格的利率敏感性,债券价格的影响因素:息票利率期限市场要求收益率嵌入期权,第一节债券价格变化的特征,债券价格与收益率的关系：债券价格与收益率呈反向变动问题：债券价格与收益率呈怎样的反向变动？,第一节债券价格变化的特征,例1一种债券的面值为1000元，票面利率为6%，2009年10月15日到期，每年的4月15日和10月15日分别支付一次。计算该债券在2002年10月15日的价格。,第一节债券价格变化的特征,第一节债券价格波动的特征,第一节债券价格波动的特征,第一节债券价格波动的特征,第一节债券价格波动的特征,第一节债券价格变化的特征,第一节债券价格变化的特征,价格-收益率曲线,收益率,价格,第一节债券价格变化的特征,价格收益率曲线的性质的验证：记债券的价格收益率函数为P=P(r)，则有一阶导数小于零；二阶导数大于零。,第一节债券价格变化的特征,价格-收益率曲线的解释：当收益率水平很高时，债券价值会很低，价格也低；当收益率水平很低时，债券价值会很高，价格也高；当收益率接近于零时，债券价值接近于现金流的总和。,第一节债券价格变化的特征,市场利率、票面利率对债券价格的影响：市场利率与票面利率相等时，债券价格与面值相等；市场利率高于票面利率时，人们不会购买低票面利率的债券，该债券的价格必然下降；债券价格高于面值所形成的资本损失恰好抵消票面利率高于市场利率的利差部分。市场利率低于票面利率时，人们争相购买高票面利率的债券，该债券的价格必然上升。债券价格低于面值所形成的资本利得恰好弥补票面利率低于市场利率的利差部分。,第一节债券价格变化的特征,市场利率与票面利率的大小决定债券价格与面值的关系：市场利率=票面利率，价格=面值市场利率票面利率，价格面值,第二节债券的价值,问题：以下关于债券价格的叙述是否正确？（1）收益率固定，折价交易的债券将不断增值。（2）收益率固定，溢价交易的债券将不断增值。第1句第2句A正确正确B正确不正确C不正确正确D不正确不正确,第二节债券的价值,问题：以下关于债券价格的叙述是否正确？（1）收益率固定，折价交易的债券将不断增值。（2）收益率固定，溢价交易的债券将不断增值。第1句第2句A正确正确B正确不正确C不正确正确D不正确不正确答案：B。不管必要收益率是多少，债券的价格将随着到期期限的临近，不断趋于面值。,第二节债券的价值,债券价格、到期期限以及到期收益率的数学方法分析常清英（中国农业大学），林清泉(中国人民大学）中国农业大学学报2003（8）摘要：对债券市场价格与息票率、到期收益率以及到期期限等参数关系的研究通常采用实证方法。本文采用数学分析方法，利用计算机进行数据处理，对以上各参数之间关系进行严格论证。通过对量化结果的讨论，提出分析各参数对债券影响的有效方法，得出一些有意义的结果。,第二节债券的价值,债券期限与发行价格的关系探讨舒敏(浙江财经学院)财会月刊2010（28）摘要：本文通过分析与举例来说明债券期限与债券发行价格两者之间的关系：当市场利率小于票面利率时，期限越长债券发行价格越高；当市场利率大于票面利率时，期限越长债券发行价格越低；当市场利率等于票面利率时，期限不影响债券发行价格。,第一节债券价格变化的特征,债券价格与到期时间的关系：当票面利率大于市场利率时，期限越长，债券发行价格越高；当票面利率小于市场利率时，期限越长,债券发行价格越低；当票面利率等于市场利率时，期限不影响债券发行价格。,第一节债券价格变化的特征,嵌赎回权债券收益率价格曲线,第一节债券价格变化的特征,嵌回售权债券收益率价格曲线,第二节利率敏感性及其特性,价格风险-是指由于利率变动引起债券价格的下降而导致投资者的资本损失。价格的利率敏感性-是指相对利率变动一定百分比时价格变动的百分比。利率敏感性是衡量价格风险的大小指标,第二节利率敏感性及其特性,影响债券价格的三个因素：息票利率到期时间到期收益率影响债券价格的因素也影响债券价格的利率敏感性,第二节利率敏感性及其特性,影响债券利率敏感性的三个因素：息票利率到期时间到期收益率,第二节利率敏感性及其特性,利率敏感性与三因素的关系：利率敏感性与票面利率呈反向变动；利率敏感性与到期时间呈正向变动；随着到期时间的增长，利率敏感性增加，但增加的幅度越来越小；利率敏感性的不对称性-收益率上升导致价格下跌的幅度比等规模的收益率下降带来价格上涨的幅度小；利率敏感性与到期收益率呈反向变动。,第二节利率敏感性及其特性,马尔凯债券-定价关系：债券价格与收益率成反比。债券到期收益率升高会导致其价格变化幅度小于等规模的收益下降。长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。当到期时间增加时，债券价格对收益率变化的敏感性以下降的比率增加。利率风险与债券息票率成反比。,第二节利率敏感性及其特性,霍默和利伯维茨债券价格对其收益率的敏感性与当前出售债券的到期收益率成反比。,第二节利率敏感性及其特性,例1假设有A、B、C、D四种债券，相关资料如下：,第二节利率敏感性及其特性,收益率,价格,ABCD,第二节利率敏感性及其特性,利率敏感性与债券息票率负相关比较债券B、C：票面利率越低，债券价格的利率敏感性越强，价格风险就越大。零息债券的价格风险最大。,收益率,价格,ABCD,第二节利率敏感性及其特性,利率敏感性与债券期限正相关比较债券A、B：长期债券的利率敏感性比短期债券的利率敏感性更强，因此价格风险就越大。永续债券的风险最大,收益率,价格,ABCD,第二节利率敏感性及其特性,随着到期时间的增长，利率敏感性增加的速度变慢比较债券A、B：债券B的期限是债券A的期限的4倍，其利率敏感性低于4倍。,收益率,价格,ABCD,第二节利率敏感性及其特性,进一步的例子：例4三种息票债券A、B、C如下表。半年付息一次，下一次付息在半年以后。分别计算收益率下降2个百分点时三个债券的价格波动百分比，并与收益率上升2个百分点是的结果相比较C,第二节利率敏感性及其特性,长期债券利率敏感性比短期债券的更高随着到期时间增加，利率敏感性增加的速度减慢,第二节利率敏感性及其特性,利率敏感性的不对称性:收益率升高导致价格变化幅度小于等规模收益下降导致价格变化幅度。债券价格对于收益率的降低的敏感性比对于收益率的上升的敏感性更强。,收益率,价格,ABCD,第二节债券价格波动的衡量,收益率下降时价格波动的幅度比上升时更大随着到期时间增加，价格波动的不对称幅度更大,第二节利率敏感性及其特性,随着到期时间增加，利率下降时价格波动增加的速度比利率上升时价格波动减慢的速度更大,第二节利率敏感性及其特性,利率敏感性与到期收益率成反比比较债券C、D：到期收益率较低的债券的利率敏感性更强,收益率,价格,ABCD,第三节利率敏感性的测量,利率风险是债券所面临的主要风险，可用利率敏感性来度量。测量利率敏感性的常用方法：基点价格值法久期法凸率法,第三节利率敏感性的测量,基点价格值：是指利率变动一个基点债券价格变动的数值，又称为全价法。价格变动百分比，是指价格变化的相对值，即基点价格值与初始价格之比。价格变动百分比是对利率敏感性的准确测量。,第三节利率敏感性的测量,例1有A、B、C三种债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，相关资料如下表。分别计算它们的基点价格值。,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,例2对例1中的A、B、C三种债券，分别计算收益率变动10个基点和100个基点时三种债券的价格波动。,第三节利率敏感性的测量,当收益率变动的幅度较小时（如10个基点），收益率变动n个基点，价格就近似变动基点价格值的n倍。,第三节利率敏感性的测量,当收益率变动的幅度较大时（如100个基点），价格变动却不是基点价格值的倍数。,第三节利率敏感性的测量,久期法指标:麦考雷久期理论久期修正久期实际久期提高久期法的准确性-凸率分析,第三节利率敏感性的测量,久期概念利率敏感性与债券期限密切相关。由于债券的敏感性当期限增加时其敏感性增加的速度减弱，债券的期限并不能完全度量利率敏感性。,第三节利率敏感性的测量,另外一个问题：人们在投资一个项目的时候，往往关注的是需要多长时间能收回投资？债券的投资者关心的是，多长时间能够收到债券承诺的全部现金流？零息债券的期限就是唯一的现金流支付的时间；附息债券的现金流有多期，其期限就不能刻画所有现金流的支付时间。,第三节利率敏感性的测量,例如，一个面值100元、票面利率5%的3年期债券，3笔现金流：5，5，105，收到的时间：第1年末，第2年末，第3年末笼统地说“三年才收回投资本息”显然不妥。问题：如何确切地表达收回债券本息现金流的有效到期时间？,第三节利率敏感性的测量,麦考利（1938）引入一种现金流的平均到期时间来统计债券的有效到期时间-久期。,第三节利率敏感性的测量,麦考利久期普通债券的久期，是该债券各期现金流发生时间的加权平均，其权重是每期现金流的现值占债券总现值（当前价格）的比重，记为D，即,是现金流时间的权重，即第期现金流的现值占债券价格的比重，权重之和等于1。,第三节利率敏感性的测量,例1面值为100元，票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期,第三节利率敏感性的测量,例1面值为100元，票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期,第三节利率敏感性的测量,例1面值为100元，票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期,第三节利率敏感性的测量,例1面值为100元，票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期,第三节利率敏感性的测量,例1面值为100元，票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期,久期是5.4351（半年），即5.4351/2=2.7176（年）,第三节利率敏感性的测量,1,2,3,4,5,6,7,8,1000,800,600,400,200,1200,8年期息票率9%，面值1000元，到期收益率为10%,第二节利率敏感性及其特性,现金流,现金流的现值,1,2,3,4,5,6,7,8,1000,800,600,400,200,1200,8年期息票率9%，面值1000元，到期收益率为10%,第二节利率敏感性及其特性,现金流,现金流的现值,债券的久期=5.97年,例2有一种面值为100元的三年期零息债券，如果到期收益率为10%，计算它的久期。,久期是6（半年），即3（年）。可见，零息债券的久期就是其到期时间。,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,久期是债券买卖报价的重要依据，即在流动性与税负等条件皆相同的条件下，如果附息债券与零息债券的久期相同，那么市场对它们所要求的收益率是相同的，因而价格也相同。,影响久期的因素票面利率到期收益率到期时间,第三节利率敏感性的测量,久期的性质：久期性质1：债券久期随票面利率的增高而缩短；久期性质2：债券久期随到期收益率降低而增长；久期性质3：一般来说，债券久期随到期时间的增加而增长；久期性质4：零息债券的久期等于其到期时间；久期性质5：永续债券的久期为(1+1/y)（y为到期收益率）,第三节利率敏感性的测量,久期性质1：债券久期随票面利率的增高而缩短。该法则对应于马尔凯第五关系，它归因于早期息票支付对债券支付平均期限的影响。息票越高，早期现金流的现值越大，占债券价格的比重也越大，使得时间的加权平均变小，即久期越短。,第三节利率敏感性的测量,久期性质2：债券久期随到期收益率降低而增长。到期收益率越低，后期现金流的现值越大，占债券价格的比重也越大，使得时间的加权平均变大，即久期越长。,第三节利率敏感性的测量,久期性质3：一般来说，债券久期随到期时间的增加而增长。注意：久期增长的速度比到期时间的增长速度要慢。久期并不总是随到期时间的增加而增长：对于到期收益率很高的债券，随到期时间增加久期会缩短。,第三节利率敏感性的测量,久期性质4：零息债券的久期等于其到期时间。零息债券的现金流只有一次支付时间。相同期限的息票债券的久期比零息债券的久期要短，因为早期息票支付的权重减小了支付时间加权平均的数值。,第三节利率敏感性的测量,久期性质5：永续债券的久期=(1+1/y)。(1+1/y)使附息债券的久期具有一个上限。溢价债券的久期，随着期限的延长逐步增大并趋于(1+1/y)；折价债券的久期，随着期限的延长逐步增大达到最大值，而后转为下降并趋于(1+1/y)。,第三节利率敏感性的测量,票面利率越低，息票债券的久期越长零息债券的久期与票面利率无关到期收益率越低，息票债券的久期越长零息债券的久期与到期收益率无关到期时间越长，息票债券的久期越长,但延长速度减慢零息债券的久期与到期时间增长的幅度相同,第三节利率敏感性的测量,理论久期一般债券的久期，是指价格变化的百分比与收益率变化的百分比的比率，即上式表明久期为债券的价格弹性，即市场利率变动的百分比所引起金融工具价格变动的百分比。前面的负号表示金融工具市场价格与利率成反方向变化。,第三节利率敏感性的测量,两个久期定义的说明：一般定义是对任何债券都适用的。麦考利久期只适用于普通债券。对普通债券而言，两个定义是等价的：,第三节利率敏感性的测量,两边求导,久期性质的严格证明久期与息票率呈反向变动；久期与到期收益率呈反向变动。,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,债券价格波动的计算：债券的利率敏感性的计算：,练习一不可提前赎回债券的有效久期为7.26，运用久期计算当收益率提升25个基点是该债券价格的变化百分比。A.-1.815%；B.-0.018%；C.0.018%；D.1.815%答案：A。价格变化百分比公式：-久期y100%。因此，用久期估量价格变化的百分比为：-7.260.0025100%=-1.815%,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,修正久期修正久期越大，利率变动时价格波动就越大，从而利率风险也就越大。,例6如例1中的息票债券A，面值为100元，票面利率为8%的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，到期收益率为10%。另有一种面值为100元，距到期日还有2.7176年的零息债券B。考察两债券的久期，并比较它们价格的利率敏感性。结论：债券A、B的久期相等，价格的敏感性也相同,第三节利率敏感性的测量,例7例3-1中债券的资料如下表，半年付息一次，下一次付息在半年后。利用久期与价格波动的关系，计算收益率变动1个、100个基点时，该债券的价格波动。,第三节利率敏感性的测量,与例3-1中计算价格波动率的结果一并列表如下：结论：收益率变动较小时，用修正久期估计的价格波动率较为准确；随收益率变动增大，用久期估计价格波动的误差也增大。,第三节利率敏感性的测量,久期计算债券波动误差的原因：久期计算债券变化率公式是一个近似公式,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,久期计算债券波动误差的原因：久期计算债券变化率公式是一个近似公式为了改进久期计算的误差，引进一个修正项-凸率,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,久期,？,凸率设是价格收益率函数，二阶展开式为,债券的凸度-是指凸度的计算-对普通附息债券,第三节利率敏感性的测量,凸度的计算与久期类似，区别在于它是（而不是）的加权平均，再除以，权重仍是按到期收益率贴现的每期现金流现值占债券市场价格的比重。,第三节利率敏感性的测量,例9面值为100元，票面利率为8%的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率为10%，计算它的凸度。,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,当收益率变动较小时，会更小，第二项可以忽略不计，直接用久期来估计价格的波动也较为精确。当收益率变动较大时，会很大，第二项不可忽略，因此要利用凸性来对价格的波动进行修正。,第三节利率敏感性的测量,练习一投资者收集了以下关于无附加条款美国公司债券的信息：面值为1000万美元；凸度为45；久期为7若利率提升了2%（200个基点），债券价格变化百分比是多少？答案：C。债券价格变化百分比=久期效应+凸度效应=（-久期收益率的变化100）+（凸度收益率变化的变化的的平方）=-70.02100+450.022100=-12.2%,第三节利率敏感性的测量,例11利用凸性概念，重新计算收益率变动1个、100个基点时，例1中债券A的价格波动，并与用久期计算出的结果相比较。债券A的资料如下：,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,价格波动率三种计算的比较：用凸性估计的价格波动是比久期更加精确。,第三节利率敏感性的测量,有效久期久期的近似计算,收益率微小上升时的新价格,收益率微小下降时的新价格,二者平均,第三节利率敏感性的测量,有效久期凸性的近似计算,收益率微小下降时的新价格,收益率微小上升是的新价格,微分变差分,第三节利率敏感性的测量,例12一种25年期的债券，面值100元，票面利率6%，半年付息一次，下次付息在半年后。初始价格为70.3570元，对应的到期收益率为9%，求久期和凸性的近似值。,第三节利率敏感性的测量,资产组合的久期-是指资产组合中各资产久期的加权平均数，权重是各资产的市场价格占资产组合总价值的比重。,例设一债券组合由债券A、B、C和D四种债券组成，它们的价格分别是250元，750元，1000元和2000元，久期分别是2、5、6和8，求该债券组合的久期。解答：该组合的总价值为250+750+1000+2000=4000元四种债券在组合中的比重分别为250/4000=6.25%，18.75%，25%，50%由加权平均可得该组合的久期为D=6.25%X2+18.75%X5+25%X6+50%X8=6.562（年）,第三节利率敏感性的测量,第三节利率敏感性的测量,凸度的性质凸度与到期收益率成反向变动；凸度与久期成正向变动；凸度与现金流发生时间的方差S成正向变动。进一步，长期债券的凸度大于短期债券的凸度；若两债券组合具有相同的久期，则通常由不同债券构成组合的凸度大于由单一债券构成组合的凸度。,浮动利率债券的久期,第三节利率敏感性的测量,浮动利率债券的久期=重新设定票面利率的间隔时间,浮动利率债券的价格,第三节利率敏感性的测量,浮动利率债券的久期在每个利息支付日（即刚刚支付完利息后），浮动利率债券的价格等于其面值。在下一个利息支付日（还没支付利息前），浮动利率债券的价值等于面值加上本期的利息。每隔一定时期重新设定票面利率的浮动利率债券，完全等同于零息债券.该零息债券的期限等于重新设定票面利率的间隔时间。,第三节利率敏感性的测量,久期在资产管理中的作用：久期是资产组合的有效平均到期时间；久期是资产组合利率敏感性的一种测度；久期是资产组合规避利率风险的一种工具。,第三节利率敏感性的测量,久期与凸度的应用久期缺口管理技术银行的净值（NW）等于其资产价值（A）减去负债价值（L）：当利率发生变动，银行的资产及负债的价值同时发生变动，所以净值也相应变化：,第三节利率敏感性的测量,可见，市场利率波动的环境下，利率风险不仅来自浮动利率资产与浮动利率负债的配置状况，也来自固定利率资产和负债的市场价值下降，市场利率上升时，银行资产和负债的期限越长，其市场价值下降越多。,第三节利率敏感性的测量,市场利率变动时银行发生净值的变动，依据资产或负债的相对期限不同而不同。久期是到期日的衡量方式，当利率上升，资产久期大于负债久期的银行所遭受的净值损失会大于资产久期相对较短的或资产与负债久期相匹配的银行。因此，久期分析能用于稳定