2016年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知集合 A=x|x+1 0， B=x|2 0，则 AB=（ ） A x|x B x| x 1 C x| D x|1 2已知向量 =（ 3， 2）， =（ 1， 1），则 |2 |=（ ） A B C 5 D 3命题 “ R， x ”的否定形式是（ ） A R， x B R， x C x R， D x R， 1 4已知 ） = ，则 2 ） =（ ） A B C D 5若存在实数 x， y 满足 ，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 6在下面图案中，图（ 1）是边长为 1 的正方形，图（ 2）是将图（ 1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列 则 ） A 9 B 10 C 11 D 12 7双曲线 =1（ a， b 0）的左、右焦点分别为 O 为坐标原点，以 直径的圆交双曲线于 A， B 两点，若 外接圆过点（ ， 0），则该双曲线的离心率是（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 8设函数 f（ x） =x2+mx+g（ x） = m+2） x+n2+m+1，其中 n R，若对任意的 n， t R， f（ t）和 g（ t）至少有一个为非负值，则实数 m 的最大值是（ ） A 1 B C 2 D 二、填空题（共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分） 9已知等差数列 前 n 项和为 且 ， ，则 _， _ 10已知 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）在区间 2， 4上是增函数，且 f（ 2） = 1，f（ 4） =1，则 f（ 3） =_， f（ x）的一个单调递减区间是 _（写出一个即可） 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是 _，体积是 _ 12已知圆 O： x2+y2=圆 C：（ x 2） 2+y2=r 0）在第一象限的一个公共点 为 P，过P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点 A， B（异于 P 点），且 直线 _， r=_ 13在 ， ， 别为边 中点， 交于点 G，垂直平分线与 于点 N，且 =6，则 =_ 14已知实数 x， y 满足 x2+，则 4（ x ） 2+（ y 1） 2+4取值范围是 _ 15如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面 上，三条棱 在平面 的同侧，若顶点 B， C 到平面 的距离分别为 1， ，则顶点 D 到平面 的距离是 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 75 分） 16在 ，内角 A、 B、 a， b， c，已知 A= ， = （ I）求角 C 的大小； （ ）若 a=2，求 面积 17如图，在三棱锥 P ， 平面 ， C= ， D 为中点，过点 D 作 ，连结 （ 1）证明： 平面 第 3 页（共 20 页） （ 2）求二面角 B C 的平面角的余弦值 18已知函数 f（ x） =x（ 1 a|x|） （ 1）当 a 0 时，关于 x 的方程 f（ x） =a 有三个相异实根 的取值范围； （ 2）当 a 1 时， f（ x）在 1， 1上的最大值为 M，最小值为 m，若 M m=4，求 a 的值 19已知椭圆 C： 的焦距为 2 ，离心率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若 M， N， P 是椭圆 C 上不同的三点，且满足 （ O 为坐标原点），求实数 的取值范围 20已知数列 足 ， = （ n N+） （ 1）证明： （ 2）证明： ； （ 3）证明： 第 4 页（共 20 页） 2016 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知集合 A=x|x+1 0， B=x|2 0，则 AB=（ ） A x|x B x| x 1 C x| D x|1 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分别求出集合 A 和集合 B，然后再求出集合 AB 【解答】 解：集合 A=x|x+1 0=x|x 1， B=x|2 0=x| x ， 则 AB=x| 1 x ， 故选： D 2已知向量 =（ 3， 2）， =（ 1， 1），则 |2 |=（ ） A B C 5 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用两个向量坐标形式的运算法则，求得 2 + 的坐标，可得 |2 |的值 【解答】 解： 向量 =（ 3， 2）， =（ 1， 1）， 2 + =（ 5， 5）， 则 |2 |= =5 ， 故选： C 3命题 “ R， x ”的否定形式是（ ） A R， x B R， x C x R， D x R， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 “ R， x ”的否定形式是： x R， 1 故选： D 4已知 ） = ，则 2 ） =（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由二倍角公式可得 2），整体利用诱导公式可得 2 ） = 2），代值可得 第 5 页（共 20 页） 【解答】 解： ） = ， 2） =1 2） = ， 2 ） =（ 2） = 2） = 故选： A 5若存在实数 x， y 满足 ，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出平面区域，可得直线过定点 D（ 1， 1），斜率为 m，结合图象可得 m 的不等式组，解不等式组可得 【解答】 解：作出 所对应的区域（如图 内部，不包括边界）， 直线 m（ x+1） y=0，可化为 y=m（ x+1），过定点 D（ 1， 0），斜率为 m， 存在实数 x， y 满足 ， 则直线需与区域有公共点， ， 解得 B（ ， ）， ，解得 A（ ， ） = ， = ， m ， 第 6 页（共 20 页） 故选： D 6在下面图案中，图（ 1）是边长为 1 的正方形，图（ 2）是将图（ 1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列 则 ） A 9 B 10 C 11 D 12 【考点】 数列递推式；归纳推理 【分析】 根据已知中的图形变化规律，结合勾股定理，归纳出数列的 通项公式，可得答案 【解答】 解： 图（ 1）是边长为 1 的 正方形， ， 结合勾股定理可得： ， ， ， 归纳可得： an=n，（ n N*）， 故 0， 故选： B 第 7 页（共 20 页） 7双曲线 =1（ a， b 0）的左、右焦点分别为 O 为坐标原点，以 直径的圆交双曲线于 A， B 两点，若 外接圆过点（ ， 0），则该双曲线的离心率是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0），分别求出 直径的圆的方程和外接圆的直径为 运用两圆方程求得交点 A， B，代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程可得所求值 【解答】 解：设双曲线的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0）， 直径的圆的方程为（ x ） 2+， 由 外接圆过点 M（ ， 0），即 M（ c， 0）， 即有外接圆的直径为 可得圆的方程为（ x+ ） 2+， 两圆的方程相减可得 x= c， 代入圆的方程可得 y= c， 可设 A（ c， c），代入双曲线的方程可得 =1，由 b2=e= ， 可得 415=0， 解得 或 （舍去）， 即有 e= 故选： B 8设函数 f（ x） =x2+mx+g（ x） = m+2） x+n2+m+1，其中 n R，若对任意的 n， t R， f（ t）和 g（ t）至少有一个为非负值，则实数 m 的最大值 是（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 函数的值 第 8 页（共 20 页） 【分析】 作差 g（ t） f（ t） =2t+m+1，从而可知 t 时 g（ t） f（ t），从而化为 g（ t）= m+2） t+n2+m+1 在 t 时 g（ t） + ） 2+n2+m+1 0恒成立，从而可得 |m| 1；从而结合选项解得 【解答】 解： g（ t） f（ t） = m+2） t+n2+m+1（ t2+mt+=2t+m+1， 当 2t+m+1 0，即 t 时， g（ t） f（ t）， 而 g（ t） = m+2） t+n2+m+1=（ t+ ） 2+n2+m+1 ， ， g（ t） + ） 2+n2+m+1 0 恒成立， 即 1+4成立， 故 |m| 1； 结合选项可知， A 正确； 故选： A 二、填空 题（共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分） 9已知等差数列 前 n 项和为 ， ，则 7 ， 80 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 前 n 项和为 ， ， a1+d=1， 4d=8， 解得 1， d=2 则 1+2 4=7， 0 （ 1） + 2=80 故答案分别为： 7； 80 10已知 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）在区间 2， 4上是增函数，且 f（ 2） = 1，f（ 4） =1，则 f（ 3） = 0 ， f（ x）的一个单调递减区间是 0， 2 （写出一个即可） 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据函数图象可知函数的周期，再求 的值，由已知点求出 的值，写出函数解析式，将 3 代入求出 f（ 3）的值，再求出函数的单调递减区间即可 【解答】 解： f（ 2） = 1， f（ 4） =1， f（ x）在 2， 4上是增函数可知： f（ x）的周 期为 T=4， ， = f（ x） =x+ ） =x f（ 3） =0 第 9 页（共 20 页） f（ x）的单调递减区间为 4k， 4k+2k Z 故答案为： 0， 0， 2 11某几 何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是 ，体积是 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由位置关系和勾股定理求出各个棱长，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，如图： 且 平面 ， 底面是一个直角梯形， D=2、 ， 取 中点 E，连接 E=2， 由勾股定理得， C= ， ， ， 几何体和表面积： S= + = ， 几何体的体积 V= 2=4， 故答案为： ； 4 12已知圆 O： x2+y2=圆 C：（ x 2） 2+y2=r 0）在第一象限的一个公共点为 P，过P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点 A， B（异于 P 点），且 直线 率是 ， r= 2 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 根据题意，画出图形，结合图形得出点 P 的横坐标，再根据题意列出方程组，解方程组求出半径 r 的值然后求出 P 的坐标，利用斜率公式进行求解即可 第 10 页（共 20 页） 【解答】 解：如图所示， 圆 O： x2+y2=圆 C：（ x 2） 2+y2=r 0）的一个公共点 P， 点 P 的横坐标为 x=1； 又过点 P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于 A， B 两点， 设 A（ B（ 则 ； 又 =， 且 + = + = 由此解得 r=2 即圆 O： x2+， 当 x=1 时， y= ， P 在第一象限， y= ，即 P（ 1， ）， 则 = ， 故答案为： ； 2 13在 ， ， 别为边 中点， 交于点 G，垂直平分线与 于点 N，且 =6，则 = 36 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 =6 得 用 ， ， 表示出 ， 列方程解出 【解答】 解： =6， 别为边 中点， G 是 重心 ， = ， （ ） =6 即 + =6 ， ， ， =18 第 11 页（共 20 页） 6=6， =36 故答案为 36 14已知实数 x， y 满足 x2+，则 4（ x ） 2+（ y 1） 2+4取值范围是 1， 22+4 【考点】 排序不等式 【分析】 4（ x ） 2+（ y 1） 2+44x+1+2y+1+4 2x+y 1） 2+1，再利用三角换元，即可得出结论 【解答】 解： 4（ x ） 2+（ y 1） 2+44x+1+2y+1+4 2x+y 1） 2+1 设 x=2y=2 2x+y 1=41=2 +） 1 2 1， 2 1， （ 2x+y 1） 2 0， 21+4 ， （ 2x+y 1） 2+1 1， 22+4 ， 故答案为： 1， 22+4 15如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面 上，三条棱 在平面 的同侧，若顶点 B， C 到平面 的距离分别为 1， ，则顶点 D 到平面 的距离是 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 本题的条件正规，但位置不正规牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角，但难于下手出路何在？在正方体的 8 个顶点中，有关系的只有 4 个 （其他顶点可不予理会）这4 点组成直角四面体，这就是本题的根所以最终归结为：已知直角四面体的 3 个顶点 A，B， C 到平面 M 的距离依次为 0， 1， ，求顶点 D 到平面 M 的距离 第 12 页（共 20 页） 【解答】 解：如图，连结 四面体 A 直角四面体作平面 M 的法线 作， 平面 M 于 平面 M 于 平面 M 于 连结 AH=h， DA=a， DB=b， DC=c， 由等体积可得 = + + ， + + =1 令 ， ， ， 可得 ， 设 m， ， ， =1 解得 m= 即所求点 D 到平面 的距离为 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 75 分） 16在 ，内角 A、 B、 a， b， c，已知 A= ， = （ I）求角 C 的大小； （ ）若 a=2，求 面积 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）由已知式子和余弦定理结合多项式的原可得 b=c 或 b2=c2+别由等腰三角形和直角三角形可得； （ ）结合 a=2，分别由等腰三角形和直角三角形的知识和面积公式可得 【解答】 解：（ I） 在 ， = ， bc=余弦定理可得： bc= （ b2+ （ a2+ 同乘以 2c 可得 b（ b2+ 2c（ a2+ 2 b（ =c（ a2+ 第 13 页（共 20 页） （ b c） =0， b=c 或 b2=c2+ 当 b=c 时，由等腰三角形可得角 C= ； 当 b2=c2+，由直角三角形可得角 C= ； （ ） a=2， 当 b=c 时，三角形的高 h= =+ ） = =2+ ， 此时三角形的面积 S= 2 h=2+ ； 当 b2=c2+，由直角三角形可得 c= =2 ， 面积 S= 17如图，在三棱锥 P ， 平面 ， C= ， D 为中点，过点 D 作 ，连结 （ 1）证明： 平面 （ 2）求二面角 B C 的平面角的余弦值 【考点 】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连结 Q=O，推导出四边形 正方形，从而 线面垂直得 等腰三角形性质得 而 此能证明 面 （ 2）由 平面 结 二面角 B C 的平面角，由此能求出二面角 B C 的平面角的余弦值 【解答】 证明：（ 1）如图，连结 Q=O， C= ， D 为 点， ， 平面 面 平面 面 D=1， 四边形 正方形， 第 14 页（共 20 页） 平面 面 D 为线段 中点， C， 又 A=A， 平面 平面 C=D， 平面 解：（ 2）由（ 1）知 平面 结 则 二面角 B C 的平 面角， 由题意知 D=1， ， C= = ， = = ， 二面角 B C 的平面角的余弦值为 18已知函数 f（ x） =x（ 1 a|x|） （ 1）当 a 0 时，关于 x 的方程 f（ x） =a 有三个相异实根 的取值范围； （ 2）当 a 1 时， f（ x）在 1， 1上的最大值为 M，最小值为 m，若 M m=4，求 a 的值 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 （ 1） f（ x） = ，作其图象，从而 利用数形结合求解得 a （ 0， ）；从而可得 x2+， ，从而求得； （ 2）显然， f（ x）为 R 上的奇函数，从而可得 M=2，再分类讨论求最大值即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， 当 a 0 时，其图象如右图所示， 第 15 页（共 20 页） 直线 y=a 与 y=f（ x）的图象有三个不同的交点， f（ ） a 0，即 a 0， 解得， a （ 0， ）； 其次，由韦达定理及求根公式可得， x2+， ， 从而可得， = ， 注意到 a （ 0， ）， （ ， 1） （ 2）显然， f（ x）为 R 上的奇函数， M m=2M=4， 当 a=0 时，经检验不符合题意，舍去； 当 a 0 时，函数 f（ x）在 1， 1上单调递增， 故 M=f（ 1） =1 a=2， 故 a= 1； 当 a 0 时， f（ x）在（ ， ）和（ ， +）上单调递减， 在（ ， ）上单调递增； 当 1，即 0 a 时， f（ x） 1， 1上单调递增， 可解得 a= 1（舍去）， 当 1，即 a 1 时， f（ x）在 1， 1上的最大值为 f（ ） = =2， 解得， a= （舍去）； 综上所述， a= 1 第 16 页（共 20 页） 19已知椭圆 C： 的焦距为 2 ，离心率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若 M， N， P 是椭圆 C 上不同的三点，且满足 （ O 为坐标原点），求实数 的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由椭圆的焦距为 2 ，离心率为 ，列出方程组求出 a， b，由此能求出椭圆C 的方程 （ 2）推导出 ，当 x 轴时，能求出 2 0 或 0 2；当直线 方程为 y=kx+m，将其代入椭圆，得（ 1+44=0，由此利用根的判别式、韦达