§4.1 数学期望ppt课件

4.1数学期望,4.1.1数学期望的定义某自动化车床在一天内加工的零件中，出现次品的数量X是一个随机变量.由多日统计,得X的分布律如下:问该车床平均一天出几个次品?,1,2,定义4.1.1设离散型随机变量X的分布律为若级数绝对收敛,则称这个级数为随机变量X的数学期望(或均数、均值),记为,3,例4.1.1求例2.2.1中投篮次数X的数学期望.,4,例设随机变量X在区间-1，2上服从均匀分布，随机变量,5,设X有密度把X的取值范围(有限区间)分成n个不相交的小区间则X落入第i个小区间的概率为于是X的平均值近似地等于记存在,则这个极限值为,6,定义4.1.2设连续型随机变量X的密度函数为若广义积分绝对收敛,则称这个积分为随机变量的数学期望,记为,7,例4.1.2设随机变量解X的密度函数为所以,8,问题若随机变量X的分布已知，则Y=g(X)的数学期望怎么求？,9,4.1.2随机变量函数的数学期望定理4.1.1设X为随机变量,函数.(1)若X是离散型的,其分布律为若级数绝对收敛,则,10,证明仅对离散型情形予以证明.若X有分布律分布律按照离散型数学期望的定义,11,(2)若X是连续型的,其密度函数为若广义积分绝对收敛,则该定理的重要性在于:不必求出随机变量函数的分布,可直接由X的分布求出其函数的数学期望.,12,定理4.1.2设为二维随机变量,的函数；(1)若是离散型的,其联合分布律为则(2)若为连续型的,其联合密度为,13,例4.1.3设随机变量X的分布律为求,14,例4.1.4一工厂生产的某种产品寿命(以年计算)工厂规定,产品售出后一年内若损坏就可以更换.若售出一件该产品赢利200元,更换一个产品亏损300元,求工厂售一个产品净赢利的数学期望.,15,解由题意，知X的密度函数为又设Y是售出一个产品的赢利，则Y是X的函数,即于是,16,即售出一个产品将赢利109.37元.,17,例4.1.5设供电公司在某指定时段的供电量X(万kWh)在10,20上均匀分布,而用户的需求量Y在10,30上均匀分布.设公司每供电1kWh获利0.1元.若需求量超过供电量,则公司可从电网上取得附加电量来补充,每供电1kWh获利0.05元.求供电公司在这段时间内获利的数学期望.,18,解由于X与Y独立，易知(X,Y)的联合密度为利润函数如图4.1所示，把矩形10，2010，30分成两个区域,19,20,随机变量函数的数学期望在实际生活中有很多应用，关键在于建立所求变量与已知随机变量的函数关系，然后利用随机变量函数的数学期望的定义进行计算.,21,例4.1.6设随机变量X与Y的联合分布律为:,22,4.1.3数学期望的性质(1)设c为常量,则(2)证设X有密度,23,证明设X与Y的联合密度为,24,(4)设个随机变量,是n个常量,则,25,(5)若X与Y独立,则一般地,若互相独立,则,26,证明设X与Y的联合密度为从而,27,例4.1.7设随机变量求的数学期望;(2)若X与Y独立,求的数学期望.,28,例4.1.8设的联合分布律为同于例2.4.1,求,29,例4.1.9设随机变量求解这是一个超几何分布.设一袋中装有N个球,其中m个红球.不放回地抽取n次每次一球,设X表示“取得红球的数量”,则,30,所以有用古典概率的方法可求得,31,32,例一公共汽车载20人从机场开出,途中有10个站可停车,当车到一站点时,若无人下车则车不停.设每