易拉罐形状和尺寸的最优设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘 要本文研究的是易拉罐形状和尺寸的最优设计。对于问题1我们利用游标卡尺对饮料量为355毫升的蓝带“纯爽”牌啤酒的易拉罐进行了测量，得到如下结果并作出图2：易拉罐尺寸总高中间最大直径壁厚度顶盖厚度顶盖直径底盖厚度119.2867.020.210.3857.960.35单位(毫米)对于问题2以用铝量最小为最优设计，并转化为求用铝体积最小的问题，建立了规划模型，目标函数关系式为：得到高与半径比为： 与我们所测量的尺寸（）比较接近，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸，但不能说明其形状。 对于问题3在圆台上底面半径一定的情况下，形状为黄金分割比且用铝量最小是它的最优设计，建立目标函数关系式：得到高与半径之比为： 其结果从形状和尺寸都能比较合理的说明我们所测量的数据。对于问题4我们将开口设计成为旋合式瓶盖，并且得到一组新的尺寸，虽然成本可能偏高，但它比现有易拉罐更为方便和卫生。最后我们通过做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验写下了自己的感受。关键词：易拉罐 规划模型 黄金分割 Lingo一、问题的提出我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3. 设易拉罐的中心纵断面如图（1）所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5. 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。二、模型假设1、假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料；2、假设每种相同规格易拉罐的顶部、壁、底部的厚度都相同。三、符号说明：正圆柱体易拉罐罐身的高：正圆台和正圆柱体结合的易拉罐罐身的高：易拉罐的圆台部分的高：易拉罐的圆柱部分的高 其中：易拉罐的圆柱部分的半径：易拉罐的圆台上底面的半径：易拉罐的圆台的母线长：制作易拉罐所需要的铝的总体积数：铝制易拉罐的实际容积：铝制易拉罐的顶部厚度：铝制易拉罐的壁厚：铝制易拉罐的底部厚度四、问题分析对于问题1：我们利用游标卡尺，对净含量为355毫升的蓝带原厂出品的纯爽啤酒的易拉罐（图2）进行了各部分（如直径、高度，厚度等）尺寸的测量对于问题2：在实际生活中，经营者总是考虑成本最低，这就要求在易拉罐的设计中要使其用铝量最小。在选择厚度时，我们已经假设每个易拉罐各个部分的厚度都与我们测量的值相同，于是我们可以比较容易得出顶盖体积、底盖体积和罐壁体积。因此我们可以利用规划模型来解决用铝量（铝所消耗的体积）最小这一目标函数。对于问题3：我们对易拉罐的罐身进行观察和分析得到，罐身上面的圆台部分有2个作用：1. 增强易拉罐整体的强度。2. 由于易拉罐顶盖的材料较贵，使用圆台以减少顶盖的面积，从而节省成本。由以上两点我们得出一个关于求解最少用铝量的函数。但在计算的过程中发现2个问题。其一，只有顶盖的面积为零时，才有最优解，然而实际上顶盖必须有一定的面积用于安置饮用口和拉环。其二，圆台高度过高，这样就无法达到增加强度的作用，且不够美观。为此我们再引入2个限定量：1. 限定圆台上底面的半径大于某一值。2. 引入黄金分割来限定罐身圆柱部分高度与其半径之比。对于问题4：首先我们对铝制易拉罐的优缺点进行分析比较优点缺点铝制易拉罐1) 制作成本低2) 制作工艺简单3) 体积小巧便于运输1) 罐装饮料开启后不能再封上2) 开口处很容易堆积污垢，不够卫生表1我们从这张表格就能很清楚的看出铝制易拉罐的优劣了，但是当今随着社会的繁荣，人们对物质的要求已经不仅仅停留于吃的饱穿的暖了，而更多的应该体现在罐装饮料的方便性和卫生性，所以我们争对这两个缺点对易拉罐进行重新的设计，将整个铝罐的圆台部分进行延长，使得端口如普通塑料瓶口一样。不过无论如何设计产品，成本仍然是放在首位的，所以我们的目标函数依然不变，相对的约束条件就必须重新给定，以此来对整个铝罐尺寸进行设计。五、模型建立对于问题2，根据问题1测量得到的厚度数据，我们建立如下模型： （1）而（1）式也正是我们第2问的目标函数，问题2的规划模型为： （2） （3）对于问题3，建立使易拉罐用铝量最省的规划模型： （4） （5） （6） （7） （8）对于此模型，求解的结果我们可以预见到，因为顶盖的厚度要比壁的厚，所以为达到目标函数用铝体积最小，罐身圆台的上底面将会缩减成一个点。这和实际的产品是不相符合的，这里缺少一个使得圆台的上底面变大的方程，而且我们认为这应该是加工圆台的侧面比较昂贵所产生的结果，所以我们这里假定要使得开启方便且圆台侧面加工费用较少，那么上底面的值要大于28.98mm。对于问题4，首先建立一个与问题3类似的目标函数，又因为我们是要在铝罐上安装一个瓶盖，所以我们先假设一个口径，通过对部分塑料瓶的口径测量，我们将铝罐的直径定为30mm。但是由于我们要将铝制瓶罐进行整体处理，所以这里先舍去从黄金分割的角度考虑，直接利用体积一定以及圆台上底面半径为15mm进行约束求解。六、模型求解问题1：我们利用游标卡尺测量得到了以下结论：易拉罐尺寸总高中间最大直径壁厚度顶盖厚度顶盖直径底盖厚度119.2867.020.210.3857.960.35单位(毫米)表2图2直观地表示出易拉罐形状和尺寸图2单位（毫米）问题2：我们通过直接带入求导的方法得出铝制易拉罐在用铝量最小的情况下的高和半径之比。= （9）问题3：我们利用数学软件Lingo来进行求解（程序见附件二），在使用计算机软件的过程中由于需要给定真实容积的具体数值，实际中铝制易拉罐的容积要大于355ml 所以我们利用水对它进行了估算，测得值大约为380ml，代入程序中解得：值28.9800032.900937.1290915.954014106.4696表3且用的铝的最小量为 。因此我们也可以得到一个高与半径的比值： （10）对于问题4我们再通过Lingo编程计算，最后得出新设计铝罐的尺寸为：值（mm）15.0000036.9571532.9041924.5065175.72977表4利用三维软件将这个设计画出来，可以得到：图3图形说明：最顶上圆柱部分为旋合式瓶口，以下部分为瓶身，瓶子底端、圆柱和圆台相接处有加强折痕。七、模型讨论问题一的测量中，我们缺少有效的测量工具，在实际的测量过程中存在着一定的误差，但通过对可口可乐的易拉罐（净含量为355毫升）进行测量，得到它顶盖的直径和从顶盖到底部的总高: 约为6厘米和12厘米. 最大圆柱的直径约为6.6厘米。这和我们对纯美啤酒的易拉罐测量数据相当接近。问题二中，当易拉罐是一个正圆柱体，其用铝量（即使用铝的体积）最小是它的最优设计，得到半径和高的比值为3.476，我们测量得到的高与半径的比值比较接近，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸，但是我们很容易的发现这个圆柱式的易拉罐和真实的形状差别还是比较大的，不过整体的轮廓还是比较相近的。问题三中，当易拉罐是由一个正圆柱体和一个圆台所组成时，在圆台顶面半径一定的情况下，外观看起来最为舒适且用铝量最小是它的最优设计，得到半径和高的比值为，就单单从尺寸数据上来看，虽然它的比值仍然和真实的比值相接近，但是与第二题中的圆柱得到的比值反而差别更大，这证明数据出现了更大的偏差，然而我们从形状的角度来看，就会发现此时的易拉罐和真实的易拉罐有比较大的相似之处，所以我们认为得到的结果能比较合理的说明所得到的测量数据。问题四中，我们对开口进行重新设计，使它成为旋合式瓶口。虽然这样的铝罐在外观和成本上可能会不及普通的铝罐，但明显体现出它较为卫生的优点，而且方便性更是普通易拉罐无法做到的。另外在问题3中我们曾提到过铝罐的圆台上底半径需大于现有的值，但是我们的设计却超过了此值，虽然上面有瓶口做为折痕，不过仍有可能使得圆台面的强度不够大，所以我们的模型可能需要在圆台中心线上再多进行加固，使它有更好的强度。八、小论文这次数学建模竞赛，确实让我们充实了不少。拿我们做的C题而言，这是一个很贴近生活的问题。我们平常似乎都不曾注意到这一点，认为易拉罐理所当然就该是这个样子。然而在对题目细细的剖析过程中，我们就渐渐发现了问题。最初感觉仅仅就是一个材料用量最少的问题，但当我们进入第3问的时候就被卡住了。我们认为最优解一定是两方面造成的，一边的条件需要结论值上升，而同时另一边的条件又需要结论值下降，由此才能找到一个平衡点。但是在这道题目中，可以说明圆台上底面的面积越小，材料就越省，却很难说明有哪一方面是需要圆台上底面越大越好的。在这样的情形下，我们重新审视这一问题，并对此进行一系列的猜测，带着这些猜测我们对铝罐进行更深一步地研究与分析。从空的铝罐中我们很容易发现铝罐是两头强度较高，而中间强度较低。多数人都曾以为铝罐上下底硬是因为那部分的铝片较厚，在我们进行剪开测量之后，发现顶、壁、底的厚度其实相差不多，而上端强度较高的原因是在于压制出圆台后，使得铝罐的变形量减小了。由此我们推出圆台的侧面积和整体强度存在一定的关系，而且根据数值的计算发现圆台也应该是加工时较为费钱的一个工艺环节。至此，我们发现解决这一问题已经不再是只靠现有知识就能办得到的了。于是我们查阅有关资料，对铝罐的整个工艺过程进行大致了解。虽然最后没有查阅到关于顶盖的加工工艺，但对其它方面工艺的了解在解决问题时还是起到了很大的作用。由此我们慢慢体会到，数学建模并不单单只靠数学和计算机来进行解题的，而还应该联系实际的情况。有很多在理论上能达到的最优值可能在实际生活中并不能那么容易得出，或许根本就得不到答案。这也正是这道题目的难点。对于解题人员不仅需要懂得运用数学，运用计算机，而且还需要知识的多方面，需要你对题目所涉及的整个问题的过程有一个大致甚至深入的了解。并且要求能够分清问题主要方面和次要方面，这也是我们在解题过程中常常会犯的错误。对于数学建模，我们认为它是为了建立一个与生活密切相关的模型，而这个模型又应该是基于实际的情况通过数学的理论得到的。九、参考文献1 同济大学应用数理系 高等数学第五版下册 高等教育出版社 2007-7-第5版2 LIAOYAO 铝质易拉罐成形工艺及模具/ebook/0502/mjjs-03.htm2006-9-153可口可乐罐头为什么是这种样子?/jcb/upload/news_20051124182151.doc2006-9-154 江鸿 向群铝罐生产技术和市场发展/disp_art/0/16804.html2006-9-15附录一：图1附录二：问题3的Lingo程序：min=3.1415926*(r1+r2)*l*0.21+3.1415926*r22*0.35+2*3.1415926*r2*h2*0.21+3.1415926*r12*0.38;l2=h12+(r2-r1)2;3.1415926*h1*(r22+r2*r1+r12)/3+3.1415926*r22*h2=380000;h2/2/r2=1.618034;r157.96/2;r1r2;问题4的Lingo程序：min=(3.1415926*(r1+r2)*l*0.21+3.1415926*r22*0.35+2*3.1415926*r2*h2*0.21+3.1415926*r12*0.38);l2=h12+(r2-r1)2;3.1415926*h1*(r22+r2*r1+r12)/3+3.1415926*r22*h2=380000;r1=15;r1r2;问题3的运行结果： Local optimal solution found at iteration: 34 Objective value: 7105.923 Variable Value Reduced Cost R1 28.98000 0.000000 R2 32.90093 0.000000 L 7.129091 0.000000 H2 106.4696 0.000000 H1 5.954014 0.1272392E-07 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7105.923 -1.000000 2 0.000000 -2.863266 3 0.000000 -0.1132185E-01 4 0.000000 -323.0695 5 0.000000 -45.02895 6 3.920926 0.000000问题4的运行结果： Local optimal solution found at iteration: 38 Objecti