2011高考数学一轮复习 正弦定理和余弦定理课件

第七节正弦定理和余弦定理,一、正、余弦定理,b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC,2RsinA2RsinB2RsinC,sinAsinBsinC,在ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？,提示：充要条件.,二、在ABC，已知a,b和A解三角形时，解的情况如下：,1.已知锐角ABC的面积为，BC4，CA3，则角C的大小为()A.75B.60C.45D.30,解析：由题知，,答案：B,2.在ABC中，若则AB()A.3B.4C.5D.6,解析：因为所以由正弦定理可得,答案：C,3.(2010惠州模拟)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2c2b2)则角B的值为(),或,或,解析：结合已知等式得cosBtanB,答案：D,4.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4bsinA，则cosB.,解析：因为a4bsinA4b，由正弦定理知sinB，cosB,答案：,5.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为.,解析：如图所示，B60，AB1，BD2.由余弦定理知,答案：,1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断.2.三角形中常见的结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.,(4)三角形内的诱导公式sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；sincos(5)在ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.,=sin,(2009湖北高考)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(1)确定角C的大小；(2)若c=且ABC的面积为，求ab的值.,首先利用正弦定理把边转化为角，求角C，再利用面积公式可求得ab，结合余弦定理得出结论.,【解】(1)由及正弦定理得，ABC是锐角三角形，(2)法一：由面积公式得即ab6.由余弦定理得,由变形得(ab)23ab7.将代入得(ab)225，故ab5.,法二：前同法一，联立、得消去b并整理得a413a2360，解得a24或a29.,所以或,1.(2010深圳调研)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a4，C2A，cosA=(1)求sinB；(2)求b的长.,解：(1)A、C为ABC内角，cosA=sinA又C2A.sinCsin2A2sinAcosAcosCcos2A2cos2A1sinBsin(AC)sinAcosCsinCcosA,（2）由可得,b=a,=4,依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；,2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.,【注意】在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.,在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状.,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.,【解】法一：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正弦定理，得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，sin2Asin2B，由02A2，02B0，a2b2c2，故ABC为直角三角形.,(2)ABC外接圆半径为1，A，a2，bc2(sinBcosB)故ABC周长的取值范围是(4,2+),在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，(1)若ABC的面积等于求a，b；(2)若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积.,(1)利用余弦定理和三角形面积公式列方程组，解方程组得a，b，(2)利用诱导公式、和差角的正弦公式、倍角公式，列方程组求a，b，及正弦定理将角化边，进而求三角形面积.,【解】(1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4，又因为ABC的面积等于所以得ab4.联立方程组,(2)由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，即sinBcosA2sinAcosA.当cosA0时，A=B=a=所以ABC的面积当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，联立方程组,解得所以ABC的面积综上：ABC的面积为,3.设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB3，bsinA4，(1)求边长a；(2)若ABC的面积S10，求ABC的周长l.,解：(1)依题设得由正弦定理得所以即依题设知a2cos2B9，所以a225，得a5.,(2)因为所以，由S10得c5.应用余弦定理得,故ABC中的，周长,在高考试题中，有关解三角形的问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力，以化简、求值或判断三角形形状为主，也与其他知识结合，考查解决综合问题的能力.有关解三角形的题型，选择、填空、解答题都有可能出现，一般为容易题和中档题.2009年天津卷就考查了正、余弦定理的应用及三角函数求值.,(2009天津高考)在ABC中，AC3，sinC2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A)的值.,解(1)在ABC中，根据正弦定理，于是(2)在ABC中，根据余弦定理，得cosA于是sinA,