方程的根与函数的零点题型及解析

方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点（1）f（x）=x3+1；（2）f（x）= ；（3）y=x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=1，即函数的零点为1；（2）由f（x）=0得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=1，即函数的零点为1（3）由y=x2+3x+4=0，可得（x4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为22.求函数f（x）=2x+x3的零点的个数；求函数f（x）=log2xx+2的零点的个数；求函数的零点个数是多少？分析：由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；由题意可得，函数y=log2x 的图象和直线y=x2的交点个数，数形结合可得结论由函数y=lnx 的图象与函数y=的图象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1x）的零点个数解：函数f（x）=2x+x3单调递增，又f（1）=0，故函数f（x）=2x+x3有且只有一个零点函数f（x）=log2xx+2的零点的个数，即函数y=log2x 的图象和直线y=x2的交点个数，如图所示：故函数y=log2x 的图象（红色部分）和直线y=x2（蓝色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log2xx+2的零点的个数为2；函数f（x）=lnx-（1x）的零点个数就是函数y=lnx的图象 与函数y=1x的图象的交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1x的图象只有一个交点，如图所示，可得函数f（x）=lnx-（1x）的零点个数是13.已知方程x23x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围已知a是实数，函数f（x）=x2+ax3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，求a的取值已知函数f（x）=x22ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围分析：由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=32，得出不等式组，解出即可；若函数f（x）=x2+ax3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）0，f（1）0，f（2）0，f（4）0，解得答案；若函数f（x）=x22ax+4只有一个零点，则=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x22ax+4有两个零点，进而f（1）f（2）0，解得答案解：若函数f（x）=x2+ax3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）0，f（1）0，f（2）0，f（4）0，即-30，a-40，2a-70，4a-190，解得：a（4，194）；令f（x）=x23x+a，它的对称轴为x=32，函数f（x）在区间（2，3）单调递增，方程x23x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）0，f（3）0，即a-20，9-9+a0，解得0a2；解：若函数f（x）=x22ax+4只有一个零点，则=4a216=0，解得：a=2，此时函数的零点为2不在区间（1，2）上，即函数f（x）=x22ax+4有两个零点，则f（1）f（2）0，即（52a）（84a）0，解得：a（2，52）4.已知函数f（x）的图象是连续不断的，观察下表：函数f（x）在区间2，2上的零点至少有几个？分析：看区间端点值，只要在区间两端点处函数值异号，由零点存在性定理即可解决问题解：由题中表得，f（2）0，f（1）0，f（0）0，f（1）0，f（2）0，由零点存在性定理可得f（x）在区间2，1，1，0，1，2上个有一个零点，故函数f（x）在区间2，2上的零点至少有3个5.已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A若f（x）在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）f（b）0B若f（x）在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）0，则其在（a，b）内没有零点C若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）0，则其在（a，b）内有零点D如果函数f（x）在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）0，则其在（a，b）内有零点分析：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可解：y=x2，在（1，1）内有零点，但是f（1）f（1）0，故A不正确，y=x2，f（1）f（1）0，在（1，1）内有零点，故B不正确，若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）0，可知满足f（a）f（b）0，但是其在（a，b）内没有零点故C不正确所以ABC不正确，故选D6.若y=f（x）在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A若f（a）f（b）0，不存在实数c（a，b），使得f（c）=0； B若f（a）f（b）0，存在且只存在一个实数c（a，b），使得f（c）=0； C若f（a）f（b）0，不存在实数c（a，b），使得f（c）=0； D若f（a）f（b）0，有可能存在实数c（a，b），使得f（c）=0分析：画满足条件的函数图象排除不正确的选项解：首先，设函数y=f（x）在区间a，b上的图象如左图：图中满足f（a）f（b）0，有可能存在实数c（a，b）使得f（c）=0，故A，B错误；其次，设函数y=f（x）在区间a，b上的图象如右图：图中满足f（a）f（b）0，有可能存在实数c（a，b）使得f（c）=0，故C错误；D正确 7.已知函数f（x）=mx23x+1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围分析：根据题意，二次函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，有两种情况，一是只有一个在右侧，二是两个都在右侧，分类讨论即可解：（1）当m=0时，f（x）=3x+1，直线与x轴的交点为（13，0），即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意；（2）当m0时，f（0）=1，抛物线过点（0，1）；若m0时，f（x）的开口向下，如图所示；二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧，满足题意；若m0，f（x）的开口向上，如图所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当=94m0，且0即可，如图所示，解得0m；综上，m的取值范围是（，948.函数y=f（x）的图象在a，b内是连续的曲线，若f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）A只有一个零点B至少有一个零点 C无零点D无法确定分析：可列举适当的函数图象，看图象与x轴的交点个数，将选项逐个排除，即可得到正确答案解：如图1，有f（a）f（b）0，但函数y=f（x）的图象与x轴无交点，所以f（x）在区间（a，b）内无零点，可排除A，B，如图2，有f（a）f（b）0，但函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点，所以f（x）在区间（a，b）内有且只有一个零点，可排除C，综上知，函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数无法确定故答案为D9.若二次函数f（x）=x2+mx+3+2m（1）若函数f（x）有两个零点，其中一个零点小于0，另一零点大于5，求m的取值范围；