一元多项式环的概念及其通用性质_第1页
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1,7.1一元多项式环的概念及其通用性质,一、多项式定义.设x是一个变量(文字),n是非负整数.表示式anxn+an-1xn-1+a1x+a0,其中an,an-1,a1,a0全属于数域K,称为系数在数域K中的一元多项式,简称数域K上的一元多项式.,注:(1)一元多项式指只含一个变量.(2)n是非负整数.(3)多项式常用f(x),g(x)等表示,或简记作f,g等.,设数域K上的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,(1)an,an-1,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0的多项式称为零多项式,记作0.(2)akxk(k=n,n-1,1,0)称为f(x)的k次项,ak称为f(x)的k次项系数.(3)零次项a0也称为f(x)的常数项.,(5)非零常数是零次多项式.(6)零多项式是唯一无法确定次数的多项式.(7)只有f(x)0,degf(x)才有意义.,(4)若an0,称anxn为f(x)的首项,an称为f(x)的首项系数,n称为f(x)的次数,常记作degf(x),或,二多项式的运算,设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,g(x)=bmxm+bm-1xm-1+b1x+b0,1、相等:f(x)=g(x)若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等.2、加(减)法:f(x)g(x)将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减);若mn,则ai=0;若jm,则bj=0.(2)乘法运算式可按竖式进行.,乘法运算式,例1.设f(x)=2x2+3x-1,g(x)=x3+2x2-3x+2,则f(x)=2x2+3x-1,)g(x)=x3+2x2-3x+2.2x5+3x4-x34x4+6x3-2x2-6x3-9x2+3x4x2+6x-2.f(x)g(x)=2x5+7x4-x3-7x2+9x-2,一些性质,1、数域K上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得的结果仍然是数域K上的多项式2、deg(f(x)g(x)max(degf(x),degg(x)deg(f(x)g(x)=degf(x)+degg(x)3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积;f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x)的首项系数之积.,运算规律,1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、乘法消去律定义所有系数在数域K中的一元多项式全体,称为数域K上的一元多项式环,记作Kx,P称为Kx的系数域.,设,(2)在复数域上(1)是否成立？,练习：,(1)证
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