湖北长阳高中数学第一章三角函数1.4.2周期性课件新人教A必修4

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质,周期性,教学目标,一、知识与技能,了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。,二、过程与方法,从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。,三、情感、态度与价值观,培养数学来源于生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。,教学重点,周期函数的定义和正弦、余弦、函数的周期性。,教学难点,周期函数的概念,教学工具,多媒体课件,设计思路,创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。在研究P点的圆周运动时，给出了y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。,教学过程,一、创设情境,每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。,二、学生活动,（P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是：A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D-A-B,问题：点P的运动是周期运动吗？,设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t的函数，记为y=f(t).,则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=0，（位置在A点）f(2)=f(6)=f(10)=f(14)=4，（位置在C点）,一般地，点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t)想一想：f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。,可以用描点法画出这个函数的图象（如图）,它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12)内重复。,三、建构数学,（一）周期函数及周期的定义,一般地，对于函数f（x），对定义域内的每一个x的值，每增加或减少一个不为零的定值T，函数值就重复出现，这个函数就是周期函数，即f(x+T)=f(x)。,周期函数定义如下：,一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。,前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、,（二）最小正周期的概念.,对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.,注意今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期。显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.,思考：,正弦函数y=sinx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使sin(T+x)=sinx成立？,sin(2+x)=sinx，sin(4+x)=sinx，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期T=2（最小正值）,(三)三角函数的周期,演示：周期函数y=sinx的图象,讨论：余弦函数y=cosx也是周期函数，并找出它们的周期。,四、数学运用,例1若钟摆的高度h（mm）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。（1）求该函数的周期；（2）求t=10s时钟摆的高度。,分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5；根据函数的周期性，f(10)=f(101.5)=f(1021.5)=f(101.5k)(其中k为整数)，直到101.5k=1或2.5为止，即f(10)=f(1)=20.,例2求函数f(x)=cos3x的周期。,解：设周期为T.f(x)=cos3x=cos(3x+2)，f(x+T)=cos3(x+T),由f(x)=f(x+T)得，3x+2=3(x+T)，解得T=2/3.,函数f(x)=cos3x的周期2/3.,尝试练习：,注意：运用了换元方法，u=3x；f(u)=cosu的(最小正)周期是2；即cosu=cos(u+2)；由于cos(3x+2)=cos3(x+T)对任一x的值都成立，所以3x+2=3(x+T)；f(x)=cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。,(1)求g(x)=2sin()的周期。,(2)证明函数（其中为常数，且）的周期是.,结论:,一般的，周期函数y=Asin(x+)及y=Acos(x+)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T=,五、回顾反思,1.周期函数、周期概念.,2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2.,3.周期函数的周期的求法。,一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。,一般的，周期函数y=Asin(x+)及y=Acos(x+)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T=,通过这节课的学习，你有哪些收获？,六、课外作业：,2、课本P46习题1.4A组3、10B组3,1、举例说明周期现象。,3、设m、p、q为自然数，m除以5所得的商是p且余数是q(q5).显然q是m的函数，记q=f(m).(1)写出这函数的值域；(2)这函数是周期函数吗？若是，则写出周期；若不是，则说明理由。,七、设计说明:,1、由可感受、能理解的实例出发，感性的认识周期函数的概念。比如创设情境，从自然界中的周期现象出发，建立P点的圆周运动这一模型。本节课的难点在于周期函数概念的理解，因此在讲解概念之前，通过现实情境帮助理解周期运动，在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念，体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。3、新课程的