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文档简介

三元均值不等式,二元基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系,那么这个不等式能否推广呢?例如,对于3个正数,会有怎样的不等式成立呢?,3abc,三元均值不等式如果a,b,cR+,那么a3+b3+c3(当且仅当a=b=c时取等号).,算术平均,几何平均,三个正数的算术平均不小于它们的几何平均,一正,二定,三相等,1,【解析】因为a,b,c不全相等,所以在运用三元均值不等式时,不能取“=”,故无最大值.,D,2,函数y=3x+12x2(x0)的最小值是().A.6B.66C.9D.12,【解析】y=3x+12x2=3x2+3x2+12x2333x23x212x2=9,当且仅当3x2=12x2,即x=2时,等号成立,故ymin=9.,C,3,函数y=4x2+16(x2+1)2的最小值是.,【解析】y=4x2+16(2+1)2=2(x2+1)+2(x2+1)+16(2+1)2-4332(2+1)2(2+1)16(2+1)2-4=8,当且仅当2(x2+1)=16(2+1)2,即x=1时,等号成立,故ymin=8.,8,4,设a,b,c为正实数,求证:1a3+1b3+1c3+abc23.,【解析】a,b,c为正实数,由均值不等式,得1a3+1b3+1c3331a31b31c3=3abc,1a3+1b3+1c3+abc3abc+abc,又3abc+abc23abcabc=23.1a3+1b3+1c3+abc23.当且仅当a=b=c时,等号成立.,利用三元不等式求最值设a,b,cR+,且a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.,7,1.若logxy=-2,则x+y的最小值是().A.3322B.2333C.332D.223,【解析】由logxy=-2,得y=1x2(x0),而x+y=x+1x2=x2+x2+1x233x2x21x2=3314=3322.,A,B,3.若ab0,则a+1b(ab)的最小值是.,【解析】(a-b)+b+1b(ab)33(ab)b1b(ab)=3,当且仅当a-b=b=1b(ab)时,等号成立.,3,4.设an=12+23+n(n+1)(nN*),比较an,n(n+1)2,(n+1)22的大小,并证明你的结论.,【解析】an=12+23+n(n+1)1+2+n=n(n+1)2,又an=12+23+n(n+1)1+22+2+32+n+(n+1)2=n(n+1)+n(n+3)4=n2+2n2(n+1)22,n(n+1)20,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.,【解析】x0,y0,1+x+y233xy2,1+
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