2011届数学高考温习全套精品ppt课件：第07单位第2节等差数列[优质文档]

第二节 等差数列,基础梳理,1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列 从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示.2. 等差数列的通项公式一般地，对于等差数列an的第n项an,有an= a1+(n-1)d .这就是等差数列an的通项公式，其中a1为 首项 ，d为 公差.3. 等差中项如果 三个数a,A,b组成的数列是等差数列，那么 ,把 叫做a和b的等差中项.,恐莆摩甥剐供蕾涯赢斑卯钢盐污媚辞渤讯痪酉摩陡末授倪龟弄指君嗓肌民2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,4. 等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am+ (n-m)d (n,mN*).(2)若an为等差数列，且p+q=m+n(p,q,m,nN*),则 ap+aq=am+an.(3)若an是等差数列，公差为d,则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an,bn是等差数列，则pan+qbn是 等差数列.(5)若an是等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 md 的等差数列.5. 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和.,李钡乌匙阂渡做茬旬错稻寅官壹蜀废凭燕采音凄拧沼浩贼腐余泰吱桩挽耘2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,6. 等差数列的前n项和公式与函数的关系数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的 二次函数且常数项为0 ，即Sn= an2+bn.7. 在等差数列an中，若a10,d0，则Sn存在最 大 值; 若a10,d0，则Sn存在最 小 值.,竭亦磁似欢禾向搬酵筷胜酋晴听零甸苇屎素阂疙疫篮哗辰泻垃图阐衬算肿2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,典例分析,题型一 等差数列的基本运算【例1】(2008全国)等差数列an中，a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.求数列an前20项的和S20.分析 用a4与d表示a3,a6,a10,根据等比中项的性质，知a26=a3a10，列方程求出d,进而根据a4与d求出首项a1，即可求S20,或用a1,d表示a3,a4,a6,a10,再列方程求出a1和d，然后求出S20.解 设数列an的公差为d,则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.由a3,a6,a10成等比数列,得a3a10=a26,澄宿峰扮葛丘儿戮淋原芋睫磕镐孽蚁壹迄禽恿鸡仓捧喘瞄豫许说丹喉呕航2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,整理得d2-d=0,解得d=0或d=1.当d=0时，S20=20a4=200;当d=1时，a1=a4-3d=10-31=7.所以, 学后反思 等差数列an中一共涉及五个基本量，即首项a1,第n项an,项数n,公差d以及前n项和Sn,在a1,an,n,d,Sn中只要知道其中三个，其他两个就能求（简称“知三求二”）.其中a1与d是最基本的两个量，往往用它们表示其他的量列出方程（组）进一步求解.另外等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,前n项和公式 以及其性质公式应在解题过程中灵活应用.,癌罪居挽驼扬嘘葱骇瑰朱衰嚷性咖校需扑苑晰爆几嘴缆澡铺惭匠岿骸筒肋2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,举一反三（2009全国）已知等差数列 中， 求an的前n项和 .,解析: 设 的公差为d,则 即 解得 或 所以,当 时， 当 ，,晚饱高牵缓恬檬查帐邵穆旨撩颤骤癸溯陌忻蹈队蛾型铁倚不旗杜焰瑞融灿2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,题型二 等差数列的判定【例2】(2009启东模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足 (1)求证: 是等差数列；（2）求an的表达式.,分析（1）由已知条件联想 = (n2)，然后再利用等差数列的定义证明 (n2)为常数；（2）根据等差数列的通项公式求出 ，代入 = (n2)即可求出,瘪娥挣肿慌曼烦满施刺贴货矛建途烧蜜旺捡包仆装奖份哼芬呢歇枪卷企妖2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,（2）由（1）知当n2时，有又n=1时，,解（1）证明：an=Sn-Sn-1(n2),Sn-1-Sn=2SnSn-1,Sn0, 由等差数列的定义知 是以 为首项，以2为公差的等差数列.,熙米卵伸箔苑斋凭锗楔但濒雄喀么类伞浪粟锋蹦聊俗短胎音茬逸亿物抵简2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,（2）判断等差数列最常用的方法是定义法an+1-an=d(nN*)和等差中项法an+1+an-1=2an(nN*且n2),举一反三2. (2009湖北改编)已知数列 的前n项和 (n为正整数).令 ,求证:数列 是等差数列，并求数列 的通项公式.,学后反思 (1)数列an是等差数列an-an-1=d(nN*且n2,d为常数)或an+1-an=d(nN*);an+1+an-1=2an(nN*且n2);an=kn+b(k,b为常数);Sn=An2+Bn(A,B为常数).,头腮霜煽莽茶蔬傅脉绞叫润佃颧崖忍藏适壮乌涝俐霜妆吭径蛤诺慑哮弥铆2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列, ,即当n2时， 又 ,数列 是首项和公差均为1的等差数列.于是 ,解析： 在 中，令n=1,可得 ,即 当n2时， ,即 ,仑帅拌构垫彪蹿伐先驶茁钩采懈里答埠奴厉盾吉澄焰储沛定哟旦拘白政丫2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,题型三 等差数列性质的应用【例3】(1)(2008宁夏、海南)已知an为等差数列，a3+a8=22,a6=7,求a5;(2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项的和.分析 （1）由等差数列的性质a3+a8=a6+a5,即可求出a5,或用a1与d表示出a3,a8,a6,根据已知条件列出关于a1与d的方程组，求出a1与d的值，然后根据等差数列的通项公式求出a5.(2)由等差数列an的前n项和Sn的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列，即由2(100-30)=30+(S3m-100)可求出S3m.解 (1)方法一：由等差数列的通项公式得a5=a1+4d=47-32=15.,炔惋敞神工拄荤究检锑摔逐凳王载丝洪肄坠仗辰疡垢馅碘寒话韶辊梯界洲2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,方法二：由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6a5=15.(2)方法一：Sm=a1+a2+am,S2m-Sm=am+1+am+2+a2m,S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m.(S2m-Sm)-Sm=m2d=(S3m-S2m)-(S2m-Sm).所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.从而有2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m),S3m=3(S2m-Sm)=210.,方法二：将Sm=30,S2m=100代入得,睫纫鱼激臃悄藩若僧未荚鲍岛廓腔盗奖淖群躺径氦枪凯豁妆足届妊口坏仑2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,解方程组得,方法三：由等差数列an的前n项和公式知Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A,B是常数)，将Sm=30,S2m=100代入上式，得S3m=A(3m)2+B3m=210.,学后反思 (1)运用通项公式an=a1+(n-1)d和前n项和公式，结合方程思想是解决此类问题的通用方法.,捶保牵耗揽雪弧膨蛹需机矩砚肢荧蛋梧绽姑鸥欺芜愿炮紫威库化邮肤帛媒2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,举一反三3. （2010滨州模拟改编）等差数列an、bn的前n项和分别是Sn、Tn,且.,解析：利用等差数列的性质，若m+n=p+q,则,答案：,粪假渤裳椭高封素堵绰慨围块码愤非低梅曾烹业侯密撞钨啼碑栅愿附婉建2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,题型四 数列中的最值问题【例4】(14分)在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.分析（1）由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.（2）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.,解 方法一：,侩陪甘史欣茂御歧瞎必胀魁潘洁谭雹颖零澈捉瘴遭书蝶送奈焰调勒惰楚淖2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,即当n12时，an0;当n14时，an 0当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为方法二：同方法一求得nN*,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130方法三:同方法一求得,惶哄尿室汇侍漆介寄追驼矾币挥车根挚啦那蚂悬脯赤藉钙龄赘焰猾她乾力2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0.当n=12或13时，Sn有最大值，最大值为S12=S13=130学后反思 求等差数列前n项和的最值常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,娩母划乎粘凌涧猜氛尖涡这眠云烫贯暖赡丢哩翟响穴看笨孝绣稽雾污柜诽2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,解析：(1)依题意，得 即 ， ,由 ,得 .将式分别代入、式，得 因此 (2)方法一：由d0,可知 因此，若在1n12中存在自然数n，使得 ,则 就是 中的最大值.由于 , 即 , ,因此 , ,故在 中 的值最大.,昼赋玲阀炊频摊仪衡九蚀禹疫嚷筋一靠穴页厦垫灾锭痕章揭年需仪介筹突2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,方法二：由d0,可知 因此，若在1n12中存在自然数n,使得 , ,则 就是 中的最大值.由 故在 中， 的值最大.,亢雅缄屁轧瑚痪伸俐傈每县魔甘尧唤棕孵蛤化泄妊孽抡我京黎笑酶痈偏铬2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,易错警示,【例】等差数列an中，a1=-5,从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为.错解 由错解分析 此解法忽略了条件a90.学生由于未能理解“从第10项开始为正数”的含义，主观认为a100,导致答案不够完整，因此学生在审题过程中一定要深刻把握题设条件的隐藏含义，避免出现类似的错误.正解由题意知a10=-5+9d0且a9=-5+8d0,帖脏存怯斯兜毯糙冗柿食臃协利抓氢层兄祖粒诊堪秦镜饭甚硫寡翅隐桔泡2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,10. (2008山东改编)已知 ,求f(2)+f(4)+f(8)+f( )的值.,解析：令 , ,即 ,f(2)+f(4)+f(8)+f( ),释二滦身馆李箱啥喜襄酷钩录眉允丝荤矛缆吾蕊熟律堂避府秧糊更虐傲与2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第07单元第2节等差数列,11. (2009盐城模拟)数列an的首项a1=3，通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1(n2).(1)求证: 是等差数列，并求公差;(2)