结构力学 第13章结构弹性稳定ppt课件

第十三章结构弹性稳定,13-1概述,13-2用静力法确定临界荷载,13-3具有弹性支座压杆的稳定,13-4用能量法确定临界荷载,13-5变截面压杆的稳定,13-6剪力对临界荷载的影响,13-7组合压杆的稳定,13-8弹性介质上压杆的稳定,13-9圆环及拱的稳定,13-10窄条梁的稳定,13-11用矩阵位移法计算刚架的稳定,13-1概述,结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。,图a所示理想中心受压直杆。当F值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图b。,此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式这种现象为压杆丧失了第一类稳定性。,分支点失稳,13-1概述,图a所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡形式。,图b所示承受均布荷载的抛物线拱，图c所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。,图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。,13-1概述,丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。,图a所示由塑性材料制成的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当F达到临界值Fcr时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如图b丧失第二类稳定性。,极值点失稳,工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题来处理。,13-1概述,确定临界荷载的方法静力法应用静力平衡条件求解；能量法应用以能量形式表示的平衡条件。,结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数的数目。,图a所示支承在抗转弹簧上的刚性压杆，确定失稳时变形状态的独立参数为1，只有一个自由度。,图b所示结构，则需两个独立参数，具有两个自由度。,图c所示弹性压杆，则需无限多个独立参数，具有无限多自由度。,13-2用静力法确定临界荷载,静力法依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值即为临界荷载。,图a所示单自由度结构，设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态如图b。,由MA=0有,当时上式满足，对应原有的平衡形式,位移很小时可认为,故有,稳定方程或特征方程,对于新的平衡形式，则有,13-2用静力法确定临界荷载,由稳定方程解得,结构处于随遇平衡状态，如图c中的AB段。,若采用精确的方程则有,若只求临界荷载，可采用近似方程求解。,当时，与F的数值仍是一一对应的，如图c中的AC段。,n个自由度的结构对新的平衡形式列出n个平衡方程,n个独立参数的齐次方程,系数行列式D=0的条件,建立稳定方程,n个根中的最小值为临界荷载,13-2用静力法确定临界荷载,例13-1试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的刚度均为k。,解：结构有两个自由度，失稳时A、B点的位移如图b。,设位移是微小的，由MB=0，MC=0,即,y1、y2不全为零，则应有,展开,解得,临界荷载,13-2用静力法确定临界荷载,由(a)式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。,相应的位移图如图c。,相应的位移图如图d。,实际结构必先以图d的形式失稳，图c只是理论上存在。,13-2用静力法确定临界荷载,图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一截面的弯矩为,挠曲线的近似微分方程为,令,微分方程的通解为,边界条件为,代入通解得,方程(b)是关于A、B、FS/F的齐次方程组，A=B=FS/F=0时满足，此时各点位移y均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为,13-2用静力法确定临界荷载,展开,此超越方程图解法求解，如图b。,与,交点的横坐标即为方程的根。最小根nl在3/24.7左侧附近，试算求得准确解。,求得临界荷载值为,13-3具有弹性支座的压杆稳定,图a所示刚架，AB杆上端铰支；下端不能移动但可转动，其转动受BC杆的弹性约束，可用抗转弹簧表示，如图b。,抗转弹簧刚度k1：使梁BC的B端发生单位转角时所需的力矩。由图c可得,图b所示压杆失稳时，由MB=0可得,13-3具有弹性支座的压杆稳定,压杆挠曲线的平衡微分方程为,令,通解为,式中三个未知常数A、B、,边界条件为,可建立,A、B和不能全为零，则,稳定方程,k1给定nl最小正根Fcr,k1=0时sinnl=0：两端铰支,k1=时tannl=nl：一端铰支一端固定,13-3具有弹性支座的压杆稳定,稳定方程为,稳定方程为,一端弹性固定另一端自由的压杆,一端固定另一端有抗移弹簧支座的压杆,13-3具有弹性支座的压杆稳定,两端各有一抗转弹簧，上端有一抗移弹簧的压杆如图c,按静力法导出稳定方程为,弹性支座压杆稳定方程的一般形式,其他各种特殊情况的稳定方程均可由此推求。,13-3具有弹性支座的压杆稳定,例13-2试求图a所示刚架的临界荷载。,解：此为对称刚架承受正对称荷载，其失稳形式为正对称的如图b或反对称的如图c。,13-3具有弹性支座的压杆稳定,正对称失稳时，取半结构计算如图d。,立柱为下端铰支上端弹性固定的压杆，弹性固定端的抗转刚度为,试算法解得最小正根为nl=3.83,求得稳定方程为,临界荷载为,13-3具有弹性支座的压杆稳定,反对称失稳时，取半结构计算如图e。,立柱为上端弹性固定，上下两端有相对侧移而无水平反力。弹性固定端的抗转刚度为,求得稳定方程为,试算法解得最小正根为nl=1.45,临界荷载为,结构以反对称形式失稳，临界荷载为,13-4用能量法确定临界荷载,势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移（就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，即,V结构的应变能；V外力势能。,外力势能定义为,有限自由度结构所有可能的位移状态只用有限个独立参数a1，a2，an即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。,单自由度结构EP只是参数a1的一元函数，势能的变分为,结构处于平衡时,是任意的,故,13-4用能量法确定临界荷载,多自由度结构势能的变分为,由EP=0及a1，a2，an的任意性，必须有,由此获得一组含a1，a2，an的齐次线性代数方程，要使a1，a2，an不全为零，则此方程组的系数行列式应为零建立稳定方程确定临界荷载。,13-4用能量法确定临界荷载,例13-3图a所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k，试确定其临界荷载。,解：单自由度结构失稳时发生微小的偏离如图b。,弹簧的应变能为,外力势能为,结构的势能为,若图b结构能维持平衡则有,y10，故,临界荷载为,13-4用能量法确定临界荷载,例13-4用能量法求图a所示结构的临界荷载。,解：结构具有两个自由度，失稳时发生图b所示位移。,结构处于平衡时,结构的势能为,y1、y2不能全为零,13-4用能量法确定临界荷载,展开整理得,解得,最小值为临界荷载,图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳时发生弯矩变形，应变能为：,任一微段ds与其投影dx之差为,此式沿杆长l积分得,13-4用能量法确定临界荷载,外力势能为,结构的势能为,挠曲线y是未知的，它可以看作无限多个独立参数。EP是挠曲线函数y的函数，即是一个泛函，EP=0是求泛函极值的问题变分问题。,瑞利-李兹法：将无限自由度近似简化为有限自由度。,设,满足位移边界条件的已知函数,任意参数,结构所有变形状态由a1，a2，an所确定，简化为n个自由度。,13-4用能量法确定临界荷载,通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线,例13-5试求图a所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。,解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度结构计算。,(1)设挠曲线为正弦曲线,显然y满足位移边界条件,结构的势能为,13-4用能量法确定临界荷载,而a0，故有,得,与精确解相同，特殊情形。,(2)设挠曲线为抛物线,满足位移边界条件,误差达21.6%。,13-4用能量法确定临界荷载,(3)图b所示挠曲线作为近似曲线,误差仅为1.3%。,13-4用能量法确定临界荷载,例13-6试求图示压杆的临界荷载。,解：按两个自由度计算，查表取级数的前两项,a1、a2不全为零应有,整理得,比精确解大3.6%。,13-4用能量法确定临界荷载,例13-7试求图a所示等截面竖直压杆在自重作用下的临界荷载。,解：压杆承受的是均布荷载。,如图b，微段ds的转角为y(x)，微段以上部分的竖向位移为,微段以上部分荷载FS=q(l-x)在此位移上作功为,外力势能为,查表取三角级数的前两项有,13-4用能量法确定临界荷载,13-4用能量法确定临界荷载,a1、a2不全为零应有,整理得,方程的最小根即为临界荷载,此问题的精确解为,13-5变截面压杆的稳定,工程中变截面压杆的类型：阶形杆，截面惯性矩按幂函数连续变化。,图a为一阶形直杆，以y1、y2分别表示压杆失稳时上、下两部分的挠度，如图b。两部分的平衡微分方程为,通解为,式中,是五个未知常数。,边界条件,13-5变截面压杆的稳定,由边界条件(1)、(2)可得,将y2和y1代入边界条件(3)、(4)、(5)可得齐次方程组,稳定方程为,展开整理得,给出I1/I2和l1/l2时才能求解,13-5变截面压杆的稳定,当柱顶承受F1，在截面突变处承受F2作用时，可推得稳定方程为,式中,给出I1/I2、l1/l2和F1/F2时才能求解。,如图所示压杆,稳定方程(c)成为,最小根为,可得临界荷载为,13-5变截面压杆的稳定,图a所示压杆的截面惯性矩按幂函数变化，任一截面的惯性矩为,I1柱顶截面惯性矩,I2柱底截面惯性矩,有,不同的m值对应不同形状的杆件,如图b，具有直线外形的圆形截面或正方形截面的实心压杆，m=4。,13-5变截面压杆的稳定,如图c，具有直线外形由四个截面不变的角钢组成的组合压杆，m=2。,图b、图c两种情况,图d所示压杆，m=2时微分方程为,或,变系数微分方程,令t=lnx,常系数方程,令,解为,13-5变截面压杆的稳定,将t=lnx代入,边界条件,由条件(1)：B=0,由条件(2)得稳定方程为,若已知，可用试算法解出k的最小根，进而求得临界荷载Fcr。,m=4时微分方程为,令,解为,边界条件,导出稳定方程为,令,13-6剪力对临界荷载的影响,设yM和yS分别表示弯矩和剪力影响所产生的挠度，总的挠度为,对x求二阶导数可得曲率的近似公式,弯矩引起的曲率为,如图a、b，先求由剪力引起的杆轴切线的附加转角。,从而有,挠曲线微分方程为,对图a所示结构,可求得,13-6剪力对临界荷载的影响,挠曲线方程可写为,令,微分方程的通解为,边界条件,导出稳定方程为,最小正根,可得,欧拉临界荷载,修正系数,E欧拉临界应力,13-6剪力对临界荷载的影响,设压杆由钢材制成，取E为比例极限,切变弹性模量G=80GPa，则有,在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。,13-7组合压杆的稳定,组合压杆通常由两个型钢用若干联结件相联组成，联结件的形式有：缀条式，缀板式。如图a、b。,当组合压杆的节间数目较多时，其临界荷载可用实体压杆的公式计算。即,对式中k/GA需另行处理，以反映联结件的影响。,单位剪力作用下的剪切角。,(d),13-7组合压杆的稳定,1、缀条式组合压杆,缀条通常采用单根角钢，其截面较小，其两端可视为铰结。现取出一个节间来分析，如图。,位移,缀条的横杆,缀条的斜杆,杆长,杆长,因而,13-7组合压杆的稳定,Ad主要杆件的截面积；Id主要杆件的截面对其本身形心轴的惯性矩，近似认为其形心轴到z轴的距离为b/2。,当斜杆与横杆EA相同=45时，有,斜杆的影响,横杆的影响,13-7组合压杆的稳定,斜杆比横杆对临界荷载的影响更大，略去横杆的影响，则,Aq一根斜杆的截面积。,设,临界荷载写成欧拉问题的基本形式,r两主要杆件的截面对整个截面形心轴z的回转半径。,一般=3060，设长细比=l/r，可得,换算长细比,钢结构规范中推荐的公式,13-7组合压杆的稳定,2、缀板式组合压杆,组合压杆采用缀板联结时，缀板与主要杆件的联结可视为刚结。近似认为主要杆件的反弯点在节间中间，剪力平均分配于两主要构件。取图a所示部分分析。,由图b所示弯矩图图乘得,13-7组合压杆的稳定,节间长度d增加，修正系数2减小。一般情况下缀板的刚度很大，近似取EIb=，则,整个组合杆件的截面惯性矩,整个组合杆件的长细比；d一根主要杆件在一个节间内的长细比。,13-7组合压杆的稳定,近似地以1代替0.83则有,相应的长度系数为,换算长细比为,规范中确定缀板组合压杆长细比的公式,可得,13-8弹性介质上压杆的稳定,支承于弹性介质上的压杆由于失稳发生弯曲时，弹性介质将对它产生分布反力。如图所示。,采用文克勒假定：分布反力的集度q与挠度y成正比，即,k基床系数,能量法,设挠曲线为,压杆弯曲时的应变能为,弹性介质的应变能为,荷载势能为,13-8弹性介质上压杆的稳定,因,并有,可得,a不能为零，故有,(e),半波数m的确定条件,必须是大于零的整数，否则不能满足两端铰支的边界条件。(2)应使特征荷载F值为最小。,13-8弹性介质上压杆的稳定,F与m的关系曲线如图所示,由极值条件,F虽为极小，但m不一定是整数。,取按(f)式算出的m值的邻近整数mi和mi+1，代入式(e)求F，取其较小者为临界荷载Fcr。,k/EI愈大，m值愈大。即介质与杆件的刚度比愈大时，压干失稳时挠曲线的半波数愈多。k=0时取m=1，与无介质的两端铰支压杆的结果相符。,13-8弹性介质上压杆的稳定,半穿式桁架桥的上弦杆在各结点处受到斜杆传来的压力Dicos如图a，压力由跨中向两端逐渐增大。,上弦杆失稳时将离开原桁架平面发生侧向弯曲，从而受到起横向联结系作用的刚架的抵抗。如图b。,将上弦杆看作在各结点处具有弹性支座，在两端处为刚性铰支座。计算简图如图c。,13-8弹性介质上压杆的稳定,若将上弦杆看作是支承于连续弹性介质上的压杆，则介质的基床系数可表示为,d节间长度；FR0结点侧向位移为1时弹性支座的反力。,由图d,I1、h竖杆的惯性矩和长度I2、b横梁的惯性矩和长度,作用在各结点处的集中力Dicos近似地用三角形分布荷载代替，如图e。,可得,13-8弹性介质上压杆的稳定,能量法计算,压杆弯曲时的应变能为,弹性介质的应变能为,x处微段ds倾斜时引起的位移为,使该微段以右（l-x）长度上的外力作功为,推得外力势能为,13-8弹性介质上压杆的稳定,采用三角级数表示挠曲线,求得临界压力的近似值，为便于实用将临界压力写为,式中长度系数与比值有关，可查表13-3。,结构的势能为,13-9圆环及拱的稳定,在半径为R的等截面圆弧曲杆上取出长为ds的微段AB，其失稳后的位置为AB，如图(a)。,设A、B两点的环向位移分别为u、u+du，径向位移分别为w、w+dw。如图b。,曲率的改变与弯矩之间的关系如下,弯矩M以使曲率减小为正，上式可为,即,13-9圆环及拱的稳定,当仅发生环向位移时如图c，两截面相对转角为,当仅发生径向位移时如图d，两截面相对转角为,13-9圆环及拱的稳定,故有,轴向变形忽略不计，应有,可得,得,代入,有,用位移w和弯矩M表达的平衡微分方程,13-9圆环及拱的稳定,圆形曲杆承受均布径向荷载q时，失稳前只承受轴力，弯矩和剪力均为零，取微段ds如图(a)所示。,由平衡条件,失稳后微段的受力如图(b)所示,其轴力为,由隔离体的平衡方程得,13-9圆环及拱的稳定,将FN0、FN、ds=Rd代入上式有,将上式整理消去FN和FS可得,(h),将(g)式代入(h)式可得,(i),弯矩与位移之间的微分关系,以位移w和荷载q表达的圆形曲杆弯曲平衡微分方程,13-9圆环及拱的稳定,令,则式(i)的一般解可表示为,由式(g)有,(j),(k),(m),对具体问题，根据边界条件写出含积分常数A0A5的齐次代数方程，其系数行列式应为零稳定方程求解临界荷载。,13-9圆环及拱的稳定,圆环承受均布水压力时的失稳情况如图所示。显然其解答应是以2为周期的函数。应有,将式(j)代入上式有,题意要求,可推得,应取n=2，可得q的最小值即临界荷载为,13-9圆环及拱的稳定,两铰圆拱的失稳形式有反对称和正对称两种，如图a、b所示。,反对称失稳时，w和M应为的奇函数，由式(m)有,边界条件=，M=0，可得,取q的最小正值为临界荷载，k=1有,可推得,=/2时qcr的值与圆环的临界荷载相同,13-9圆环及拱的稳定,正对称失稳时，w和M应为的偶函数，u应为的奇函数，故有,边界条件=，u=0，M=0，可建立稳定方程,展开得,给定解出n求得临界荷载。计算表明：对于两铰圆拱，临界荷载是反对称时的临界荷载。,13-9圆环及拱的稳定,无铰圆拱的最小临界荷载发生于反对称失稳情况下；三铰圆拱的最小临界荷载发生于正对称失稳情况下。各种圆拱的临界荷载可表示为,式中：l跨度；K1与高跨比f/l有关的系数，可查表。,抛物线拱在竖向均布荷载作用下的稳定问题很复杂，采用数值积分法求解，其临界荷载也可表示为,系数K2查表可得。,13-10窄条梁的稳定,图a所示狭长矩形截面梁，两端简支处截面可绕z、y轴转动。两端作用一对xy平面内的力偶。,v、w梁失稳时任一截面形心的竖向位移、侧向水平位移，与坐标轴一致为正。截面绕x轴的转角，右手螺旋规则。如图b、c所示。,13-10窄条梁的稳定,xyz截面新位置形心处的坐标系；x沿梁轴的切线方向；y、z截面的两主轴。,可建立方程,GIt截面抗扭刚度；It截面抗扭二次矩。,h、b矩形截面的高度、宽度。,取隔离体如图d,(n),将M沿y、z向分解,将以上Mi代入式(n)得,13-10窄条梁的稳定,整理得,则有,一般解为,边界条件,得B=0,稳定方程为,最小正根为nl=，代入式(o)得临界弯矩为,13-11用矩阵位移法计算刚架的稳定,压杆单元：单元分析中考虑轴力对弯矩变形的影响。,图示一等截面压杆，两端压力为F，杆端之间无荷载。不计轴向变形，杆端位移和杆端力列向量可表示为,13-11用矩阵位移法计算刚架的稳定,假设杆件的挠曲线为,边界条件,求出A、B、C、D代入