2019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学试题及解析

.2019年高考文数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2019北京）已知集合A=x|-1x1，则AUB=（ ）A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+） D. （1，+）【答案】C【解析】【解答】因为所以故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A和B直接求出交集即可.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）2、（2019北京）已知复数z=2+i，则=（ ）A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【解答】根据，得，所以，故答案为：D.【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）3、（2019北京）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（ ）A. B. y=2-xC. D. 【答案】A【解析】【解答】A：为幂函数，所以该函数在上单调递增；B:指数函数，其底数大于0小于1，故在上单调递减；C：对数函数，其底数大于0小于1，故在上单调递减；D：反比例函数，其k=10，故在上单调递减；故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）4、（2019北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=，k3,故执行循环体k=1+1=2，；此时k=20）的离心率是，则a=（ ）A. B. 4 C. 2 D. 【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率，故解得，故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a的值.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）6、（2019北京）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】若b=0，则为偶函数，若为偶函数，则，所以B=0,综上，b=0是f（x）为偶函数的充要条件.故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）7、（2019北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为,天狼星的亮度为，根据题意,故，所以；故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）8、（2019北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4+4cos B. 4+4sin C. 2+2cos D. 2+2sin【答案】B【解析】【解答】设圆心为O，根据可知AB所对圆心角故扇形的面积为，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，故阴影部分面积最大值而，故阴影部分面积最大值故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2019北京）已知向量=（-4.3），=（6，m），且，则m= .【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得解得m=8.故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）10、（2019北京）若x，y满足.则y-x的最小值为 ，最大值为 .【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1.故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）11、（2019北京）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 .【答案】【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F（1,0），准线方程：x=-1，焦点F到准线l的距离为2，故圆心为（1,0），半径为2，所以圆的方程为；故答案为.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）12、（2019北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积，去掉的四棱柱体积，故该几何体的体积V=64-24=40.故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）13、（2019北京）已知l，m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .【答案】若，则【解析】【解答】若，则垂直于内任意一条直线，若，则；故答案为若，则.【分析】【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）14、（2019北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 .【答案】130|15【解析】【解答】草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，140120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，故实际付款（120-x）元，此时李明得到，故，解得；故最大值为15.故答案为130；15.【分析】根据已知，直接计算即可；根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）三、解答题共6小题，共80分.15、（2019北京）在ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-.（I）求b，c的值：（II）求sin（B+C）的值.【答案】解：（I）根据余弦定理，故，解得c=5，B=7；（II）根据，得，根据正弦定理，得，解得，所以，所以.【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.【题型】解答题【分值】13【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）16、（2019北京）设an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.（I）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值.【答案】解：（I）根据三者成等比数列，可知，故，解得d=2，故；（）由（I）知，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时，取最小值-30.【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出；（）由（1），求出，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.【题型】解答题【分值】13【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）17、（2019北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（I）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I）据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；（II）该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为；（III）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化.【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；（II）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；（III）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.【题型】解答题【分值】13【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）18、（2019北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由.【答案】（）证明：因为ABCD为菱形，所以，又因为，所以，而，故；（）因为,所以，故为等边三角形，而E为CD 的中点，故,所以,又因为，所以,因为，所以,又因为，所以；（）存在这样的F，当F为PB的中点时，；取AB的中点G，连接CF、CG和FG，因为G为AB中点，所以AE与GC平行且相等，故四边形AGCE为平行四边形，所以,故在三角形BAP中，F、G分别为BP、BA的中点，所以,故,因为GC和FG均在平面CFG内，且,所以，故.【解析】【分析】（）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.【题型】解答题【分值】14【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）19、（2019北京）已知椭圆C：的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点.【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故，所以椭圆的方程为；（II）设，则直线，直线，解得,故，将直线y=kx+t与椭圆方程联立，得，故，所以，故，解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM与ON，根据，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.【题型】解答题【分值】14【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）20、（2019北京）已知函数f（x）=x3-x2+x.（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；（II）当x-2，4时，求证：x-6f（x）x；（）设F