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.3.1.1 特征值与特征向量习题21求矩阵M的特征值和特征向量2. 已知矩阵M的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量3. 已知矩阵M,向量,.(1)求向量23在矩阵M表示的变换作用下的象;(2)向量是矩阵M的特征向量吗?为什么?4. 已知矩阵A,设向量,试计算A5的值5. 已知矩阵A,其中aR,若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0,3)(1)求实数a的值;(2)求矩阵A的特征值及特征向量6. 已知矩阵A,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量1,属于特征值1的一个特征向量2,求矩阵A,并写出A的逆矩阵7. 已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90.(1)求矩阵A及A的逆矩阵B;(2)已知矩阵M,求M的特征值和特征向量;(3)若在矩阵B的作用下变换为,求M50.(结果用指数式表示)8. 已知二阶矩阵M的一个特征值8及与其对应的一个特征向量1,并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量2的坐标之间的关系;(3)求直线l:xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程9. 给定矩阵M,N及向量1,2.(1)求证M和N互为逆矩阵;(2)求证1和2都是矩阵M的特征向量10给定矩阵M及向量.(1)求矩阵M的特征值及与其对应的特征向量1,2;(2)确定实数a,b,使向量可以表示为a1b2;(3)利用(2)中的表达式计算M3,Mn;(4)从(3)中的运算结果,你能发现什么?参考答案1.【解】矩阵M的特征多项式f()(1)(6)令f()0,解得矩阵M的特征值11,26.将11代入方程组易求得为属于11的一个特征向量将26代入方程组易求得为属于26的一个特征向量综上所述,M的特征值为11,26,属于11的一个特征向量为,属于26的一个特征向量为.2【解】矩阵M的特征多项式为f()(1)(x)4因为13为方程f()0的一根,所以x1由(1)(1)40得21,设21对应的一个特征向量为,则由得xy令x1,则y1.所以矩阵M的另一个特征值为1,对应的一个特征向量为.3 【解】(1)因为2323,所以M(23),所以向量23在矩阵M表示的变换作用下的象为.(2)向量不是矩阵M的特征向量理由如下:M,向量与向量不共线,所以向量不是矩阵M的特征向量4 【解】矩阵A的特征多项式为f()2560,解得12,23.当12时,得1;当23时,得2,由m1n2,得,得m3,n1,A5A5(312)3(A51)A523(1)232535.5【解】(1),a4.(2)A,f()223.令f()0,得11,23,对于特征值11,解相应的线性方程组得一个非零解,因此1是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量对于特征值23,解相应的线性方程组得一个非零解,因此2是矩阵A的属于特征值23的一个特征向量矩阵A的特征值为11,23,属于特征值11,23的特征向量分别为,.6 【解】由矩阵A属于特征值6的一个特征向量1,可知6,所以cd6,由矩阵A属于特征值1的一个特征向量2,可知,所以3c2d2.联立可得解得即A,A的逆矩阵A1.7【解】(1)A;BA1.(2)设M的特征值为,则由条件得0,即(3)(4)62760.解得11,26.当11时,由,得M属于1的特征向量为1;当26时,由6,得M属于6的特征向量为2.(3)由B,得,设m1n2mn,则由解得所以122.所以M50M50(122)M5012M5022650.8【解】(1)设矩阵M,则8,故由题意得,故联立以上两方程组可解得故M.(2)由(1)知矩阵M的特征多项式f()(6)(4)821016.令f()0,解得矩阵M的另一个特征值2.设矩阵M的属于特征值2的一个特征向量2,则M22,解得2xy0.(3)设点(x,y)是直线l上的任一点,其在矩阵M的作用下对应的点的坐标为(x,y),则,即代入直线l的方程并化简得xy20,即直线l的方程为xy20.9 【证明】(1)因为MN,NM,所以M和N互为逆矩阵(2)向量1在矩阵M的作用下,其象与其共线,即,向量2在矩阵M的作用下,其象与其共线,即,所以1和2都是M的特征向量10.【解】(1)矩阵M的特征多项式f()(2)(1)30(7)(4)令f()0,解得矩阵M的特征值14,27.易求得属于特征值14的一个特征向量1,属于特征值27的一个特征向量2.(2)由(1)可知ab,解得a1,b3,所以132.(3)M3M3(132)M313M32(4)3373.MnMn(132)Mn13Mn2(4)n37n.(4)在Mn的结果中,随着
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