时间序列分析的基本概念

第二章时间序列分析的基本概念,本章结构,随机过程基础概念和基本理论介绍平稳过程的特征线性差分方程时间序列数据的预处理,2,随机过程,描述在对某些随机现象的变化过程进行研究时，需要考虑无穷多个随机变量，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计特征，这样的随机变量族通常称为随机过程。例子：随机游动(或游走)模型，Brown运动等等,3,设X1,X2,是一列独立同分布的随机变量序列，令Sn=S0+X1+X2+Xn则称随机变量序列Sn；n=0,1,为随机游动。其中S0是与X1,X2,相互独立(但是不同分布)的随机变量，一般地，我们总是假定S0=0。如果P(Xn=1)=P(Xn=-1)=1/2就是一般概率论与数理统计教材中提到的简单随机游动。,随机游动,4,设X(t)，tT是一个随机过程均值函数协方差函数方差函数,随机过程的特征统计量,平稳过程,平稳过程：随机过程处于某种平稳状态，其主要性质与变量之间的时间间隔有关，而与所考察的起始点无关。平稳过程的分类：严平稳宽平稳,6,严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当过程所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该随机过程才能被认为平稳。定义：有限维分布关于时间是平移不变的设随机过程X(t)，tT对任意的t1,tnT和任意的h有(X(t1+h),X(t2+h),X(tn+h)和(X(t1),X(t2),X(tn)具有相同的联合分布，记为(X(t1+h),X(t2+h),X(tn+h)=(X(t1),X(t2),X(tn)则称过程X(t)，tT是严平稳的。,严平稳(strictlystationary),宽平稳是使用随机过程的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为随机过程的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证低阶矩平稳(二阶)，就能保证随机过程的主要性质近似稳定。定义：满足如下条件的随机过程X(t)，tT称为宽平稳过程，简称平稳过程。【注】若T是离散集，则称平稳过程X(t)为平稳序列Xn。,宽平稳(weaklystationary),严平稳与宽平稳的关系,区别：宽平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的一、二阶矩上，对于高于二阶的矩没有任何要求；严平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的概率分布上，以保证序列所有的统计特征都相同；两者的要求不同，一般说来，严平稳比宽平稳要求要“严”。,严平稳与宽平稳的关系,联系：严宽：因为宽平稳要求期望和协方差都存在，而严平稳要求概率分布存在，并不断言一二阶矩存在。而服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列，因为它的一、二阶矩均不存在；宽严：不言而喻；严平稳+二阶矩存在宽平稳，但反过来一般不成立；对于正态过程来说，有严平稳宽平稳。在实际应用中，研究最多的还是看宽平稳时间序列。,宽平稳是使用随机过程的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为随机过程的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证低阶矩平稳(二阶)，就能保证随机过程的主要性质近似稳定。定义：满足如下条件的随机过程X(t)，tT称为宽平稳过程，简称平稳过程。【注】若T是离散集，则称平稳过程X(t)为平稳序列Xt。,宽平稳(weaklystationary),平稳时间序列Xt的统计性质,常数均值：(自)协方差函数只依赖于时间的平移长度,而与时间的起止点无关：延迟k自协方差函数：常数方差：,规范性：对称性：非唯一性：一个平稳序列唯一决定了它的自相关函数，但一个自相关函数未必唯一对应着一个平稳序列。,自相关系数,延迟k自相关系数：反映序列Xt在时刻t和t+k时的线性相关性。,非负定性：,平稳过程的遍历性,如果均方连续的平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性(随机过程的时间平均等于过程的统计平均)，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。难点：在实际问题中，要严格验证平稳过程是否满足遍历性的条件是比较困难的。遍历性的理论意义：一个遍历的宽平稳过程，可用任意一个样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均。,纯随机过程,定义：如果随机过程X(t)是由一个不相关的随机变量序列构成，即对于所有st，随机变量Xs和Xt的协方差均为零，即随机变量Xs和Xt互不相关，则称其为纯随机过程。纯随机性：各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有记忆”的序列，序列在进行完全无序的随机波动。-不需要建模,白噪声过程,定义：期望和方差都为常数的纯随机过程称为白噪声过程。白噪声序列(Whitenoise)：白噪声过程的样本实现。若t满足则称t是一个白噪声序列，记为,标准正态白噪声序列时序图,均值为零方差为常数纯随机性,线性差分方程,一阶差分方程p阶差分方程,放到第三章去讲,时间序列数据的预处理,动态随机数据：具有动态随机变化特征的数据时间序列方法的对象：平稳的非纯随机的时间序列预处理：平稳性检验正态性检验独立性检验离群点的检验与处理,时间序列的平稳性是时间序列建模的重要前提。检验的对象：序列是否具有常数均值和常数方差？序列的自相关函数是否仅与时间间隔有关，而与时间的起止点无关？检验的方法：平稳性的参数检验法平稳性的非参数检验法时序图检验法,平稳性检验,检验的方法：平稳性的参数检验法比较麻烦平稳性的非参数检验法-游程检验法可用SPSS软件计算AnalyzeNonparametricTestsRunsZ1.96，则该时间序列平稳。时序图检验法平稳序列的均值和方差为常数，故其时序图应该在一个常数值附近随机波动，且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征。,平稳性检验,1994年1月1日-1995年12月31日香港环境数据序列：,(c)表示二氧化氮的日平均水平；(d)表示可吸入的悬浮颗粒物的日平均水平。,背景：时间序列模型是有时建立在具有正态分布特性的白噪声基础之上。因此，需要检验采集的数据是否具有正态特性。检验方法：2拟合优度检验比较麻烦J-B统计量及相伴概率P相伴概率P0.05，接受原假设，认为序列服从正态分布。,正态性检验,独立性检验,即为纯随机性检验Bartlett定理：如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为n的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布,独立性检验,Bartlett定理：原假设：延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立检验统计量：Q统计量：Box和Pierce共同推导出LB统计量：Box和Ljung共同推导出结论：当统计量的相伴概率P0.05时，接受原假设，认为序列为纯随机序列。,离群点的检验与处理