时域离散信号和时域离散系统

第一章：时域离散信号与时域离散系统,第二章：时域离散信号和系统的分析第三章：离散傅立叶变换,第四章：快速傅里叶变换,第五章：时域离散系统的基本网络结构,第六章：无限脉冲响应数字滤波器的设计,第七章：有限脉冲响应数字滤波器的设计,第八章：其他类型的数字滤波器,本章主要内容1.1引言1.2时域离散信号1.3时域离散系统1.4时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程1.5模拟信号数字处理方法1.6小结,第一章时域离散信号和时域离散系统,引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，我们一般地把信号看作时间的函数。本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。,时域离散信号,对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到-n这里n取整数。对于不同的n值，xa(nT)是一个有序的数字序列：xa(-T)、xa(0)、xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。,时域离散信号,需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)，-n信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可用集合符号表示，例如:x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1,时域离散信号,常用的典型序列单位采样序列d(n)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图所示。,时域离散信号,单位阶跃序列u(n)单位阶跃序列如图所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。(n)与u(n)之间的关系如下式所示：(n)=u(n)-u(n-1),时域离散信号,矩形序列RN(n)上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N),时域离散信号,Example给定信号x(n)：（1）试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示x(n)序列；（2）令x1(n)2x(n-2)，试画出x1(n)的波形；（3）令x2(n)2x(n+2)，试画出x2(n)的波形；（4）令x3(n)x(2-n)，试画出x3(n)的波形。解：（1）,时域离散信号,Example（2）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2个单位，再乘以2，波形如下。,n,0,1,2,3,4,5,12,6,-2,-6,x1(n),6,时域离散信号,Example（3）x2(n)的波形是x(n)的波形左移移2个单位，再乘以2，波形如下。,x2(n),n,0,1,2,-2,-1,12,6,2,-2,-6,-4,-3,时域离散信号,Example（4）x3(n)的波形：先画x(-n)的波形，然后右移移2个单位，波形如下。,x3(n),0,1,2,6,3,1,-3,-1,n,时域离散信号,Example给定信号x(n)：试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示x(n)序列,0,0,-1,1,R5(n+1),-R4(n-1),x(n),n,n,时域离散信号,实指数序列x(n)=anu(n)，a为实数如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图所示。,时域离散信号,正弦序列x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为T它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：,时域离散信号,复指数序列x(n)=e(+j0)n式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=ej0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n)由于n取整数，下面等式成立：ej(0+2M)n=ej0n,M=0,1,2,时域离散信号,如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：周期序列x(n)=x(n+N),-n0时称为x(n)的延时序列；当n00时，称为x(n)的超前序列。x(-n)则是x(n)的翻转序列，用图(c)表示。x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。当m=2时，其波形如图(d)所示。,时域离散系统,设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示：y(n)=Tx(n)其框图如图所示。在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物理过程可用这类系统表征。,时域离散系统,线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)那么线性系统一定满足下面两个公式：Tx1(n)+x2(n)=y1(n)+y2(n)(*)Tax1(n)=ay1(n)(*)满足(*)式称为线性系统的可加性；满足(*)式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成：y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)上式中，a和b均是常数。,时域离散系统,【例】证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。证明：y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+by2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+by(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+by(n)y1(n)+y2(n)因此，该系统不是线性系统。用同样的方法可以证明下式也是线性系统,时域离散系统,时不变系统如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：y(n)=Tx(n)y(n-n0)=Tx(n-n0)【例1】检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。解：y(n)=ax(n)+by(n-n0)=ax(n-n0)+bTx(n-n0)ax(n-n0)+by(n-n0)=Tx(n-n0)因此该系统是时不变系统。,时域离散系统,【例2】检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解:y(n)=nx(n)y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0)Tx(n-n0)=nx(n-n0)y(n-n0)Tx(n-n0)因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明所代表的系统不是时不变系统。,时域离散系统,线性时不变系统输入与输出之间的关系设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为h(n)=T(n)h(n)和模拟系统中的单位冲激响应h(t)类似，都代表系统的时域特征。设系统的输入用x(n)表示，按照上式表示成单位采样序列移位加权和为,时域离散系统,根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质式中的符号“*”代表卷积运算，(*)式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。只要知道系统的单位取样响应，按照(*)式，对于任意输入x(n)都可以求出系统的输出.,时域离散系统,例：设线性时不变系统的单位取样响应为h(n)=anU(n),0a1，则输入序列x(n)=U(n)时，输出序列y(n)=?,时域离散系统,卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为N+M-1。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：x(n)*h1(n)*h2(n)x(n)*h(n)=h(n)*x(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n),两系统级联,两系统并联,时域离散系统,两个有用的公式：,x(n-n0),序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身,序列与一个移位的单位取样序列(nn0)的线性卷积等于序列本身移位n0,时域离散系统,系统的因果性和稳定性定义一：如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，与n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统在物理上的可实现性。定义二：当n0时,序列值恒等于零的序列称之为因果序列。定义三：线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n0结论：因此，因果系统的单位取样响应必然是因果序列,时域离散系统,因果性系统的条件从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件如上式。对于模拟系统的非因果系统是不能实现的，但是对于数字系统，利用系统中的存储性能，有些非因果系统是可以近似实现，只是系统的输出有延时。,时域离散系统,非因果系统的延时实现,先存储，后捐据计算,进行卷积计算,时域离散系统,稳定系统：是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和【例1】设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。又当且仅当|a|1时因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。,时域离散系统,【例2】设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解:h(n)=u(n)y(n)=x(n)*h(n)=因为当n-k0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0，求输出序列y(n)。解：由差分方程可得：y(n-1)=a-1(y(n)-(n)n=1时：y(0)=a-1(y(1)-(1)=0n=0时：y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1n=-1时：y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2n=-n：y(n-1)=-an-1将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1),模拟信号数字处理方法,在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图所示1、采样定理及A/D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号,模拟信号数字处理方法,对模拟信号进行采样,电子开关的作用S等效一个矩形脉冲串,单位冲激串,模拟信号数字处理方法,上式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：根据频域卷积定理：两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积。可以推导得：,模拟信号数字处理方法,式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而成的。,模拟信号数字处理方法,在下图中，设xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，其频谱Xa(j)如图所示。,以s为周期进行的周期延拓,单位冲激串的频谱,频谱混叠,模拟信号数字处理方法,采样恢复,模拟信号数字处理方法,一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，前两图仅是示意图。一般称fs/2为折叠频率，只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠现象，超过fs/2的频谱会折叠回来形成混叠现象，因此频率混叠均产生在fs/2附近。【结论（采用定理）】(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。(2)设连续信号xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c，那么让采样信号通过一个增益为T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则s/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在模拟信号数字处