无限自由度系统的振动

无限自由度系统的振动,第四章,引言,连续系统,引言,引言,瑞士-俄罗斯科学家Euler（1707-1783）,1744年，Euler研究了梁的横向自由振动，导出了铰支、固定和自由三类边界条件下的振型函数与频率方程1759年，Euler解决了矩形膜的自由振动问题1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、Navier建立板弯曲振动理论。,引言,1.连续系统的振动是时间和空间坐标的函数,2.连续系统的运动方程要用偏微分方程来描述,3.连续弹性体有无限多个固有频率和固有振型,连续系统与离散系统不同之处：,引言,连续系统与离散系统相似之处：,1.连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权正交性,2.连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动的线性叠加,3.对弹性体的振动，模态叠加法、模态截断等方法同样适用,引言,实际工作中，如何分析连续系统的振动？,（1）首先判定是否是简单几何和边界条件的系统，如果是，则可获得系统固有振动特性和响应的解析解（本章内容）,引言,第一讲：弹性杆的纵向振动,第四章：无限自由度系统的振动,弹性杆的纵向振动,火箭的纵向耦合振动POGOvibration大型液体火箭的结构与推进系统相互作用而产生的不稳定振动。其特征频率是由结构纵向振动与推进剂输送管路振动的固有频率彼此接近或相等时所产生的一个共振频率，它的幅值开始于动力飞行过程中的某瞬间,随后达到最大,最后减弱。幅值达到最大时会引起火箭剧烈振动，使整个火箭出现不稳定状态。振动量级超过设计允许值时会影响火箭上仪器、设备的工作可靠性。对于载人航天器,还会导致航天员生理失调,如视力模糊等。,【纵向振动的例子】,弹性杆的纵向振动,弹性杆的纵向振动,(一)直杆的纵向振动微分方程,(一)直杆的纵向振动微分方程,微段的轴向应变：,横截面轴向力：,(一)直杆的纵向振动微分方程,(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程),(一)直杆的纵向振动微分方程,（直杆纵向受迫振动微分方程）,(二)杆的纵向固有振动,1.固有振动,(二)固有振动,简单边界条件,固定端：,自由端：,(二)固有振动,2.边界条件,(二)固有振动,边界条件：,【例1】：求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。,(二)固有振动,边界条件：,【例2】：求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。,(二)固有振动,(二)固有振动,各阶固有振型函数,(二)固有振动,两端自由,【课堂练习】：求两端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。,第二讲：1.轴的扭转振动2.课堂练习,(一)轴的扭转振动,1.运动方程,(一)轴的扭转振动,(一)轴的扭转振动,简单边界条件,固定端：,自由端：,2.边界条件,(二)课堂练习,【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量M的等直杆作纵向振动的频率方程。,【课堂练习2】：求如图所示的一端固定一端弹性支撑的杆作纵向振动的频率函数。,(二)课堂练习,左端边界条件：,右端边界条件：,(二)课堂练习,【课堂练习3】：求如图所示的阶梯杆纵向振动时的频率方程。,(二)课堂练习,第四章：无限自由度系统的振动,第三讲：Euler-Bernoli梁的振动,梁：以弯曲为主要变形的杆,引言,引言,Eluer-Bernouli梁：忽略剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁,Timoshenko梁：计及剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁,瑞士-俄罗斯科学家Euler（1707-1783）,DanielBernoulli(17001782),引言,直梁假设,梁具有纵向对称面，在弯曲振动时梁的挠曲线始终在这一平面内,引言,Eluer-Bernouli定律：,：弹性模量,：截面对中性轴的惯性矩，简称截面惯性矩,：梁的弯曲刚度,：梁的挠曲线,引言,梁的弯曲振动方程,正负号规定,梁的弯曲振动方程,由牛顿第二定律：,方程(1),微元力矩平衡：,梁的弯曲振动方程,梁的弯曲振动方程,固有振动,对于均匀梁：,固有振动,梁的固有振动为:,固有振动,常见的边界条件：,固定边界条件,铰支边界条件,自由边界条件,转角:,挠度:,弯矩:,剪力:,弯矩:,挠度:,固有振动,例：确定两端铰支均匀材料等截面直梁的固有频率和固有振型。,固有振动,因铰支梁不会产生刚体运动，故,固有振动,固有频率方程：,固有频率：,固有振型函数：,固有振动,对于均匀梁：,固