三角函数-学而不难

三角函数 名称由来弦的含义源于：弦与弧合成一张弓(弦弧张三个字都是弓字旁，全从弓义分化而来。)。切的含义源于：与圆切合(强调，四声)。割的含义源于：过圆点割开圆(分蛋糕，分饼)。正的含义源于：正对着的那个角(半弦正对着的那个角)。余的含义源于：除了那个正对的角，余下的那个角。(除这个字，就是余的一个分支。古人表示自谦，把自己说成余，是说自己是多出来的那个。)除法的含义源于：用2去除8。以2个石头为一组，分几次能把8去除干净。数的这个次数，就是商(计数的意思。从计数发展出了商议，商量，商人，商业商朝之所以是商朝，就是因为商朝人开创了占卜，也就是通过数数计算，推测未来。)余弦在英语中写作cosine，符号位cos，是对拉丁语的comlementi sinus【正弦的补】的简写。同样的道理，余切cotangent是正切tangent的补，符号为cot；余割cosecant是正割secant的补，符号位csc。之所以是补，因为他们每对之间角度和都是直角。正切的数学符号为tan ，英语名称是tangent，这个词汇翻译自拉丁语的tangens，意思是touching（在此，不好用汉语确切的表示这个概念，故使用英语解析，拙译为【挨着】）。从第一幅图中我们能看出，角的正切对应着线段AB，而线段AB所在直线无疑和单位圆是“相切”的。于是，我们看到正切函数是同“切线”相联系的，而英语中的相切也是使用tangent一词，切线被称为tangent line【紧挨着的线】。当一条直线和一个圆“紧紧的挨在一起”时，这时只有一个交点，我们称之为“相切”。相应的，当直线进入圆的内部，并将圆割裂成两部分时，我们称之为相割，此时直线被称为割线，因为这条直线像一把刀，将整个圆“分割”成了两部分。中文的含义非常精微，如果不是国学功底很强，或者理解能力一流，是无法一一领会这些美妙含义的。 大家都知道，三角函数triangle function中最常用的函数共有六种，分别是正弦sine、余弦cosine、正切tangent、余切cotangent、正割secant、余割cosecant。大家都学过这些函数，并曾经对其性质了然于心，甚至滚瓜烂熟。但是，大家是否想过，这些概念都是由何而来？为什么要这样表示呢？对于不能理解消化的概念，我们曾经死记硬背了很多，但大多数都一一从我们记忆中逝去。我们为什么那么容易忘记，为什么外语词汇就是记不住呢？在研究三角函数时，我们一般先假设一个半径为1的单位圆，如图中所示圆O，然后我们把需要求值的角度放在一个以此圆心为原心的直角坐标系下，由单位圆与任意角的交点D向横坐标引垂线，交OA也就是横坐标于点C。同时，我们在横坐标右侧与单位圆交点A处作圆的切线，与角相交于B点。如下图所示。于是我们知道， sin就是线段CD之长，tan为线段AB之长， sec为线段OB之长。现在，我们来分析一下这些学术术语的来历。正弦的数学符号为sin，英文名称为sine，sine是英语对于拉丁语sinus的转写。sinus本意为“弯曲”，衍生出英语中的“弯弯曲曲的”sinuous【full of curves】、“拐弯抹角” insinuate【to wind】等词汇。从这个概念看来，正弦线就应该指那些弯弯曲曲的，波状起伏的线条。如此说来，最初的命名者应该是鉴于正弦线是弯曲的，所以给他取名为sinus了。这样想来，貌似天下太平，但我们忽略了一点：最早研究三角函数的学者恐应早于罗马帝国年代（事实上，这个sinus最早出现在12世纪的欧洲，虽然那时学者都是用拉丁语写作，但年代也更加晚于罗马帝国时期），这个词汇也许源于后世学者对其他古老民族文明成果的一种翻译。事实上，正余弦函数最早由古印度传到了阿拉伯，阿拉伯数学家进而研究完善到了六种三角函数，也就是我们现在所知的正余弦、正余切、正余割六函数。梵语中将正弦称之为jya-ardha，意思是【半个弓弦】，一般简写为jiva。阿拉伯学者囫囵吞枣，直接将这个词汇音译至阿拉伯语中，并转写为jiba（请不要笑）。由于早期的闪族各语言中并没有元音符号，jiba一词大致相当于拉丁拼写中的jb。当欧洲学者翻译阿拉伯数学著作时，将这个表示正弦的jb错认为是阿拉伯语中表示“弯曲”意义的jaib（这个词写出来也是jb，说起来jb算是一个多义字），于是将其意译为sinus。既然表示正弦的jya-ardha在梵语中是“半个弓弦”之意，我们就需要弄清楚为什么这么称呼。在上图中，我们知道线段CD就对应着角的正弦，请仔细观察图中弧AD与直角ACD所组成的图形，它是不是很像半只弓箭呢？我还是为大家恢复那下半个弓的形状吧。如图，下半个弓箭我补了上来，D的镜像点为E。这样看来，弧DAE就是传说中的那张弓了，线段DE无疑就是这弓上之弦了，那么DC部分无疑就是半弦。既然DC部分是这个弓弦DE的一半，这很清楚说明了为什么梵语中将弓弦称为jya-ardha“半个弓弦”了吧！真是一个很传神的定义呢。拉丁语的tangens词干部分为tang，于是英语中【可触摸到的】就是tangible，它的否定式只需加上否定前缀in-，intangible【不可触摸的】；肤浅的tangential是【只接触到表面】之意；当你看见物品上写有noli me tangere【禁止接触】时，请千万不要动它，我们可以用英语对应翻译为dont touch me。词根tang还有不少同源变体，如ting、tact、teg等，我们常见的intact、contact、tact、tactful、tactile、contagious、contiguous、integer等不少词汇都由该词跟及其变体构成。鉴于本文旨在分析三角函数概念，相关词汇只做提及，恕不细解。正割的数学符号为sec，英语名称是secant，这个词汇翻译自拉丁语的secans，意思是cutting【切割】。从图一中我们能够看到，角的正割对应着线段OB，而线段OB所在直线无疑和单位圆是“相割”的。与正切函数相似，正割函数也和割线有着密切的关系，英语中割线被称为secant line【分割之线】。当直线与圆有两个交点时，这个圆无疑被该直线分割成了两部分。如果把这条直线比喻为一把刀，那这个圆此时无疑是被切割开了。拉丁语的secans词干部分为sec，意思是“切割”，该词干成为词根进入英语，构成为数众多的常用词汇。被切分的一段、一部分叫做segment；昆虫称为insect，因为它们身体都是一段一段的；扇形sector是从圆中切分出来的一部分，而党派、学派sect不也是分出来的么？所谓的性别sex，最早的意思是【区分男女】；还有各种真的要动刀切割的，你想怎么切都行：切成两段bisect、切三段trisect、切成四段quadrisect、切成很多段multisect、横着切intersect、纵着切longisect、切活生生的动物vivisect、切下来exsect；当年野蛮的撒克逊人Saxons肯定很喜欢干这种事情，要不然也不用给自己的民族取这样一个名字，呵呵。在此，为大家总结一下：正弦被称为sine，基于西方人对阿拉伯词汇的误解，最早命名的梵语中将其称为“半个弓弦”；正切被称为tangent，因为它源于切线的概念，切线指的是和圆“紧挨着”的直线；正割被称为secant，因为它源于割线的概念，割线指的是“切割”圆的直线。我们再来看汉语名称，三角函数被翻译为三正三余（正弦、正切、正割、余弦、余切、余割），正是对应余来说的。sine译为“弦”，这个译法很妙，因为它暗示了正弦函数对应于那个弓箭中“一半的弦线”这个概念。secant译为“割”，因为它“分割”了这个单位圆。tangent译为“切”，我觉得这个译法还是些许不妥的，“切线”这一概念容易引起我们的误解什么是“切”？我们说切菜、切肉、切西瓜，不都是一分为二啊，切跟割有什么区别啊，怎么可以把挨着的线称为切线呢，难不成是在磨刀啊？怀着这样的心情，我查阅了一些大型汉语词典，结果让我既开心又伤心。居然真的是磨刀！诗经卫风淇奥有言：如切如磋，如琢如磨。也就是说切合磋和磨是一回事。由此，我们大概可以了解最早翻译tangent的学者之良苦用心了，确实是位值得钦佩的学究。然而我依然有一些想法，留与 诸君思考：既然在中文中“切”同时能表示secant与tangent之意，在这样的情况下将三角函数中的tangent译作“切线”，是否略失偏颇呢？考虑到最初命名的是弦、切、割，当他们成对出现时，为了区分两个弦、两个切、两个割，就有必要将最初的概念一个规则的称呼，便将其称为“正”，而和它们相差90度的相似函数就称为“余”了，互余也就是两个角之和为90度。英语中的co-也有着类似的概念。我们现在使用的三角函数术语大多源自9世纪阿拉伯天文学家al-Battn的定义，在其著作Kitb az-Zj星之运动中，他创立了系统的三角学，沿用印度术语jiva将正弦称为jiba，并将正切称为umbra versa【反阴影】，将余切称为umbra recta【直阴影】，真是太形象了，想一下太阳照射在直立的竹竿落在地上的影子。而tangent与cotangent是后来学者对正余切的重新定义1、几何原本的中译本是徐光启和利玛窦合译的，里面相关概念的中文名称也都是他俩确定的，所以那些翻译名称也就不足为奇了。2、角函数不是和日影有关吗？恩，最早的三角学脱胎于天文。3、我觉得 这个问题首先是个函数概念问题，所谓函数 就是探索变量与结果的关系，也就是自变量与因变量的动态关系。三角函数也是！它是靠研究角度变化来考察的。正-是正面、余是我的古语称呼。这是过去人研究研究星体在在天球上的角度变化规律的一种无奈的办法。因为人不可以量出星体到观测者间的真正距离！但是人可以借助管子来观看星星，这就产生了一个观察面、观察角度、一个相似的指教三角形。星体的投影与天球的假想直角三角形。所以，正弦函数是正对面那个直线产生的角度变化引起的结论、结果；余弦是观测者在地面水平移动产生的角度变化产生的值。如果天上同一颗星星-比如是北极星，那么，我根据正弦或者余弦函数系列表格值（实现算好的）就可以知道我离开或者接近出发地或者目的地多少！三角函数是牵星术-古代航海的具体应用所需-的一门学问。后来拓展为一门数学门类。4、Jarvey：这里的切，不是切分的切。不读一声，而是读四声。是亲切的切(四声)，不是切割的