三角形中线与面积问题教案

课题应用三角形中线解决图形面积问题教师杜浩洋 北京一零一中学教学目标1、 使学生应用三角形中线的知识，进一步体会如何解决三角形面积等分的问题；2、 使学生通过“三角形中线等分三角形面积”这一发现，推导出关于三角形重心的重要结论。培养学生发现、猜想和论证的能力；3、 应用本节课所得结论解决四边形面积问题，进一步学会将未知转化为已知；教学重点探究三角形重心的相关结论.教学难点1、 论证三角形重心的结论；2、 将四边形面积问题转化为三角形面积问题.教学过程教学设计师生活动设计意图一、问题引入问题：园艺工人要将一块三角形花坛分成三个面积相等的小三角形，分别种植三种不同的花卉，应该如何分配该花坛？(1) (2) (3)二、深入探究 在上述划分方法中有一个图形不同于其它图形，单独来研究一下。做法：证明：猜想：三角形的重心将中线分为长度为2:1的两条线段。证明：结论：三角形的重心将中线分为长度为2:1的两条线段。 小结：（1）三角形的中线将三角形面积等分；（2）三角形的重心与顶点的连线将三角形面积三等分；（3）三角形的重心将中线分为2：1的两部分。三、应用练习练习1：如图，在中，点D，E，F，G分别为线段BC，AD，BE，CE的中点，练习2：如图，在中，点D是BC边上任意一点，点E，F，G分别为线段AD，BE，CE的中点，则证明：练习3：如图，在中，点D是BC边上任意一点，点E是线段AD的中点，点F，G分别为与的重心，则解法1：直接应用结论：重心分中线为2：1,得到面积关系。解法2：连接AF，AG，利用重心与顶点的连线将三角形面积三等分求解。四、拓展现有一块四边形的花坛，园艺工人要种植两种不同颜色的花卉，要求两种颜色花卉的面积相等，应该如何分配该花坛？方法一：（做三条辅助线）方法二：(做两条辅助线)引入：由上图做法想到，直接连接对边中点，则是否依然有证明：方法三：（做一条辅助线）五、课堂小结知识方面：1、三角形中线等分三角形的面积。 2、三角形的重心与顶点的连线三等分三角形的面积。 3、三角形的重心将三角形的中线分为2:1两部分。数学学习方法： 1、线段关系与三角形面积关系的相互转化。 2、用代数方法解决几何问题。 3、转化的思想。六、作业 1、如何将三角形面积四等分。 2、五边形的花坛怎样划分使得两种颜色的花卉的种植面积相等。 学生展示自己的划分结果。通过对第（2）组的讨论，指出哪些划分是相同的情况。并提醒学生在划分时三等分点要标注。通过第（1）（2）组图形，复习三角形中线对三角形面积的等分作用。老师提问：（1）该图形是如何作图得到的？其中点G是怎样确定的？（2）如何证明这种划分得到的三个小三角形的面积相等？学生讲述自己作图过程，并复习关于三角形中线和重心的相关内容。 教师板书证明过程。教师提问：重心是三条中线的交点，通过图形我们知道重心将每一条中线都分成了两部分，这两条线段之间有何数量关系？学生讲述证明思路，其他同学补充或修正，教师总结。教师提问：（1）中线对三角形面积的作用？（2）学到了哪些有关于重心的知识？学生思考并口述证明过程，教师板书和修正。教师提问：此时图形中EFD与EGD的面积是否依然相等？该如何设参数？学生用两种方法求解。老师提问：这四个点可以继续变化，同学们可想可以想一想还有哪些情况，以及每种情况的面积比是多少？教师提示：三角形的面积等分的方法是做中线。而四边形可以怎样划分呢？学生做法：连接一条对角线将四边形分成两个三角形。连接两条对角线可以将四边形分成四个三角形。这些做法实际上都是先将四边形划分为三角形，再将三角形面积等分。教师提问：可否直接连接四边形对边中点，将面积进行划分在重组？教师提示：前面的几种划分办法都是将四边形划分为几个三角形，既然我们已经知道三角形中线等分面积，能否将该四边形的面积转化为一个三角形的面积？通过实际问题入手，调动学生学习的积极性。通过学生之间的讨论，提升学生与人交流与协作的能力。通过学生在的展示，提升学生自信心。该环节的设计主要有两个目的：（1）学生复习“三角形中线等分三角形面积”这一结论，为后面的应用做准备；（2）得到第三组的特殊划分图形，引出三角形的重心并继续探究。培养学生言之有据的习惯，以及几何说理的能力。规范学生几何证明的书写过程。 通过边的关系可以得到三角形面积的关系，反过来通过三角形面积的关系也可以得到边之间的关系，从而得到三角形重心的重要结论。将所得结论应用到图形面积的求解。通过题目之间的改变使学生体会解决问题中方法的不变。几何题中恰当的设参数可以是问题简化，更易理解和表达。使学生感受用代数法解决几何问题的简便。 在学习本节课之前学生对重心的认识只是