《复变函数》第4章课件

复变函数（第四版）第四章级数,1复数项级数,2幂级数,3泰勒级数,4洛朗级数,1复数项级数,1.复数列的极限,复级数也是研究解析函数的一个重要工具.,函数的解析性等价于函数能否展成幂级数.,复数列,Th1.,证明利用不等式:,2.级数概念,(1)定义,级数:,前n项和:,(部分和),否则.发散,Th2.,必要条件:,运算性质:,且:,(C为复常数),（作用：复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题）,(2)绝对收敛与条件收敛.,结论:i),ii),Th3,模,iii),iv),例1.,解:1),下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.,1),2),而,解:2),例2.,解:1),下列级数是否收敛?是否绝对收敛?,解:2),(不易分实部,虚部),对正项级数,原级数收敛,且为绝对收敛.,解:3),因为,(莱布尼兹型交错级数),原级数收敛.,条件收敛,原级数不绝对收敛.,补例:考察,解:1),下列级数的敛散性:,原级数发散.,而,解:2),收敛.,(公比|q|1时,显然发散.,2.幂级数及其收敛圆,一般式:,取=0.,(有与实函类似的结论)(1),(2),阿贝尔定理,z0,x,y,O,证,利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.,显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.,O,a,b,Ca,Cb,x,y,(3),1o仅在z=0收敛;,2o在整个z平面收敛;,在1o,2o两种情形中,称R为0和,总之:R为收敛半径,则,(收敛圆内部),(收敛圆外部),(收敛圆周上),例:,收敛半径均是1.,1)其一般项zn0,无收敛点.,2)在点z=1发散,在其它点都收敛.,在收敛圆周|z|=1上,3.收敛半径的求法(1)比值法:,(2)根值法:,例2:,(P113)求下列幂级数的收敛半径,解:1),在收敛圆周|z|=1上,R=1,(p=3时的p,原级数在收敛圆周上是处处收敛的.,级数),解:2),在收敛圆周|z1|=1上,解:3),an有界,上极限,下极限,上确界k单调减少,必有极限,下确界k单调上升,必有极限,数列去掉前k项以后的有界数列的下确界.,另有一求收敛半径的方法:柯西哈达玛法,例:,解:,(Cauchy-Hadanmard),补例:,证:1),2),1)幂级数的收敛半径R1,2)若R=1,则除z=1外,收敛圆周上处处收敛.,而,同理,当=0时,即z=1,无法下结论.,从而原级数收敛(狄里克雷判别法).,补例：,解:,用比值审敛法.,不能套求半径公式,注:,故原级数收敛半径,缺项级数的收敛半径时,则其收敛半径,若先求出极限,4.幂级数的运算及性质,(1),加,减,乘法.,由绝对收敛性,则在|z|=R内,两级数可做,即,书中漏写zn,注意:,上两式的意思是|z|R时,等号成立,而不是说右边级数的收敛半径为R,(可能大于R).,(见书P115例13),重要的代换(复合运算),例4.,解:,从而,设|ba|=R,上式右端的收敛半径R=|ba|,(方法和结论以后常用),(2),(3),f(z)在收敛圆可逐项求导.,如何解释?,而在收敛圆上至少有一个奇点;,(4),3泰勒级数,我们已知：一个幂级数的和函数在它的收敛,圆的内部是一个解析函数.,问题:任何一个解析函数是否能用幂级数表达?,1.泰勒定理.,设f(z)在D内解析,只要圆k:|z-zo|d,含于D.则f(z)在k内能展成幂级数,泰勒级数,其中系数,泰勒系数.,且展开式唯一.,略证:,设z为k内任一点,按柯西积分公式,在圆周k上,有,代入,得,此等号须证(要条件),唯一性,注:1o,2o,若另有展式,即,如果f(z)在zo解析,那末使f(z)在zo的泰勒,展开式成立的圆域的半径R就等于从zo到f(z),的距zo最近一个奇点之间的距离.即R=|-zo|,当zo=0时,级数称为麦克劳林级数.,2.解析函数的等价定义(1),(2),1of(z)在zo某邻域内可导;2of(z)=u+iv的实部u,虚部v在点zo的某邻域内有连续偏导数,且满足C-R条件.,f(z)在zo解析,f(z)在zo的某邻域可展成幂级数,f(z)在D内解析,f(z)在D内任一点的某邻域可展成幂级数,至此得函数f(z)在一点zo解析的四种等价说法:,4o,3.几个常用初等函数的泰勒展开式,3o,任一条分段光滑闭曲线,有,f(z)在zo的某邻域内连续且对此邻域内的,f(z)在zo的某邻域内可展开成幂级数.,求导,续上页,积分,4.展开解析函数f(z)成幂级数,(1)直接法:,(2)间接法:,的主要方法:,利用已知展式以及幂级数的分析运,算性质和其他数学技巧,求展开式.,其中有:,代换法.,部分分式法:,(最多的是代换,续上页,微分方程法:,利用被展开函数与导数的关系,建立微分方程.,逐项积分法:,逐项求导法:,幂级数乘法:,分解为两个已知展开式函数的乘积.,幂级数除法:,待定系数法:,长除法,其他:,如,利用组合,搭配等等.,例一.,解:,(用代换法,关键将f(z)变形为含所需因式的形式,并可利用已知展开式得到需要的幂级数),方法二:,转下页,续上页,例二.,解:,对方程逐次求导,得,(得一微分方程),由于f(z)只有唯一奇点z=1,练习:,所以收敛半径为1,f(z)可在|z|1内展开,其展开式为,用类似方法求,的麦克劳林级数.,例三.,解:,故有,是偶函数,所以幂级数只有,偶次幂项,设,比较两端同次幂系数，得,解出,法二：,直接用长除法(升幂排列),4洛朗级数,由上一节知:,双边幂级数:,在圆|zzo|=R内解析的函数f(z)可以,展成幂级数,那么在环R1|zz0|R2内解析的函数呢?,它也可以展成幂级数,定义:,则,收敛,均收敛,(1)的收敛域为,在收敛圆环内的双边幂级数的和函数为一解析函数.,其公共圆环域,(2)的收敛域为,R1|zzo|R2为,1.洛朗定理.,其中,且展开式唯一.,设f(z)在圆环域R1|z-zo|R2内处处解析,那末,洛朗展开式,这里C为在圆环域内绕zo的任何一条正向简单闭曲线.,洛朗级数,(即一个在某一圆环域内解析,的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的.,这个级数就是f(z)的洛朗级数).,注:1o,2o,3o,一般f(z)在C内不是处处解析,不能对cn,的表达式应用高阶求导公式.,泰勒级数是洛朗级数的特殊情形.,(此时R1=0,cn=0),洛朗级数的解析部分,洛朗级数的主要部分,(正则部分),4o,用公式计算cn很难,一般不用.,(恰恰相反,我们后面要用cn求积分,2.将圆环内解析函数展成洛朗级数的方法,例：,解：直接法,直接法:用公式求cn.,求导、积分、代换等方法展开.,间接法:利用已知函数的泰勒展式,再利用,解：间接法：,间接法中常用公式：,例1：,解:,内处处是解析的.试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,(结果中不含z的负幂项,原因f(z)在z=0处是解析的),解:ii),解:iii),注:,此例是同一个函数在不同的圆环中的洛朗展式,这里展式不同与洛朗展式的唯一性并无矛盾.,问:,解:,此例若改成在两个孤立奇点z=1和z=2的最大的去心邻域内的洛朗展式如何求?,例2:,看教材(P134),注意:,补例一:,解:,在0|zi|1内,展为洛朗级数.,使f(z)解析且以i为中心的圆环域有,而,在1|zi|+内,因为,补例二:,解