2020年中考数学三轮压轴题突破之二次函数与直角三角形(含答案)

中考三轮复习压轴题突破之二次函数与直角三角形【知识储备】在解决二次函数与直角三角形的压轴题时首先需要有如下两个公式需要掌握：1、 设l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，若l1l2，则必有k1k2=-1;2、 设A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐标系内的两点，且AB不平行坐标轴，则AB两点所确定的一次函数的解析式中k的快速求法： (待定系数法+联立方程组即可证明)。3、 设A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐标系内的两点，则AB两点之间的距离公式为：AB=【原理探究】有了上述两个公式后，现在我们通过一道例题从代数和几何的角度着手来探究更加一般性的方法，进而给出直接秒杀二次函数与直角三角形这类题。一：几何方法 (几何辅助作图，代数求解)如下图，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，在直线l：y=kx+m上取点C，使得ABC为直角三角形，求C点的坐标。分析：ABC为直角三角形，从角去分类讨论：A为直角时：此时ACAB，相当于过A点作AB的垂线交直线l与C1点，如下图1所示：此时有kABkAC1=-1。设C1的坐标为(a,b)：而，故= -1.又C1在l上，将(a,b)代入y=kx+m.由于A(x1,y1)，B(x2,y2)，y=kx+m均为已知，故联立、方程组可求得a,b的值。B为直角时：此时BCAB，相当于过B点作AB的垂线交直线l与C2点，如下图2所示：此时有kABkBC2=-1。设C2的坐标为(a,b)：而，故= -1.又C2在l上，将(a,b)代入y=kx+m.由于A(x1,y1)，B(x2,y2)，y=kx+m均为已知，故联立、方程组可求得a,b的值。C为直角时：此时CBCA，相当于以AB的中点为圆心，AB的一半为半径作圆，该圆与直线l交于C3和C4两点，利用直径所对的圆周角为90可知C3和C4为直角顶角，如下图3所示：此时有kACkBC=-1。设C的坐标为(a,b)：而，故= -1.又C在l上，将(a,b)代入y=kx+m.由于A(x1,y1)，B(x2,y2)，y=kx+m均为已知，故联立、方程组可求得a,b的值。上述方法即为从代数角度解决直角三角形的一般性方法，归结起来为“两线一圆”，其中：“两线”是指：过两定点A、B分别作AB的垂线，交l于C点，即上图中的AC1和BC2，“一圆”是指：以定直线AB的中点为圆心，AB的一半为半径作圆交l于C3和C4两点二：代数方法已知A(x1,y1),B(x2,y2),设C的坐标为(a,ka+m)。由两点之间距离公式可知：A为直角时：则BC为斜边，AB+AC=BC，故将上述式子代入即可求出。B为直角时：则AC为斜边，AB+BC=AC，故将上述式子代入即可求出。C为直角时：则AB为斜边，CA+CB=AB，故将上述式子代入即可求出。【方法总结】直角三角形的存在性问题解题方法如下图所示：【例题精析】例1、 在抛物线y=-x+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，在x轴上取点P，使PBC为直角三角形，求P点的坐标。解：由于动点P在二次函数上运动，只能通过“两线一圆”的做法来处理，此题按照上述方法来就变成了套路题：Step1：先列出直角三角形的三个顶点坐标；令二次函数y=0，得到C点的坐标为(0,3)，令x=0，得到B点的坐标为(3,0)，设P点的坐标为(m，-m+2m+3)；Step2：计算出三条边所对应的k值；;Step3：按直角顶角分类讨论,并计算：B为直角顶角时，如下图，过B点作BC的垂线交抛物线于P1,则有：，即，解得：将m=-1代回抛物线中的得到P1 ( -2 , -5 ).C为直角顶角时，如下图，过C点作BC的垂线交抛物线于P2,则有：，即，解得：将m=1代回抛物线中的得到P2 ( 1 , 4 ).P为直角顶角时，如下图，以BC的中点为圆心，BC的一半为半径作圆交抛物线于P3和P4, 则有：，即，解得：将m代回抛物线中的得到P3()和P4().综上所述：P点的坐标为：( -2 , -5 )或 ( 1 , 4 )或()或().例题2、如图，抛物线y=mx-2mx-3m(m0)与y轴交于C点，与x轴交于A,B两点。(1)请写出抛物线的顶点坐标M以及B，C两点的坐标；(可以用m的代数式表示)(2)是否存在点M，使得BCM为直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。解：(1)令y=0，求得B点的坐标为(3,0)；令x=0，求得C点坐标为(0，-3m)；又y=mx2-2mx-3m=m(x2-2x-3)=m(x-1)2-4m，求得M点坐标为(1，-4m)。(2)此题由于C,B,M三点的坐标都求出来了，故可按照两点之间距离公式和勾股定理来处理，这样就变成了套路题：Step1:先列出直角三角形的三个顶点坐标：B(3,0)，C(0,-3m)，M(1,-4m)Step2:计算出三条边的长度：Step3：按直角顶点分类讨论并计算：当B为直角顶角时：则有代入数据：，此时无解；当C为直角顶角时：则有代入数据：，此时,又，当M为直角顶角时：则有代入数据：，此时,又，综上所述，的值为或。【课后演练】1、如图，抛物线y=-x-2x+3与y轴交于C，与x轴交于A、B两点，抛物线上有一点Q，使得BCQ为直角三角形，求Q的坐标。【答案】Q的坐标为(2,-5)或(-1,4)或()或()。2、如图，抛物线y=ax+bx-3与x轴交于A(1,0)，