湖南师大附中2017-2018高一下学期数学期末试卷

湖南师大附中2017-2018高一下学期数学期末试卷 湖南师大附中20172018学年度高一第二学期期末考试 数学 命题：柳叶审题：谭泽仁 时量：120分钟满分：150分 得分：_ 第卷(满分100分) 一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若a，b，c是平面内任意三个向量，R，下列关系式中，不一定成立的是 AabbaB(ab)ab c(ab)ca(bc)Dba 2下列命题正确的是 A若a、b都是单位向量，则ab B若ABDc，则A、B、c、D四点构成平行四边形 c若两向量a、b相等，则它们是起点、终点都相同的向量 D.AB与BA是两平行向量 3cos12cos18sin12sin18的值等于 A.32B.12c12D32 4函数f(x)tanx1tan2x的最小正周期为 A.4B.2cD2 5设a，b是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是 A|ab|a|b|B|a|b|ab| c|a|b|a|b|D|a|ab| 6函数f(x)Asin(x)A，为常数，A0，0，| A22B.62c.22D62 7如图，角、均以ox为始边，终边与单位圆o分别交于点A、B，则oAoB Asin()Bsin() ccos()Dcos() 8已知42，且sincos310，则sincos的值是 A105B.105c.25D25 9已知0，2，cos613，则sin的值等于 A.2236B.2236c.2616D2616 10将函数y3sin2x3的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数 A在区间12，712上单调递减 B在区间12，712上单调递增 c在区间6，3上单调递减 D在区间6，3上单调递增 11设o是平面上一定点，A、B、c是该平面上不共线的三点，动点P满足oPoAABABcosBAcAccosc，0，则点P的轨迹必经过ABc的 A外心B内心c重心D垂心 答题卡 题号11得分 答案 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分 12已知直线x4是函数f(x)sin(2x)的图象上的一条对称轴，则实数的最小正值为_ 13已知sincos1，cossin0，则sin()_ 14已知ABAc，ABAc1.点P为线段Bc上一点，满足APABABAc4Ac.若点Q为ABc外接圆上一点，则AQAP的最大值等于_ 三、解答题：本大题共3个小题，共30分 15(本小题满分8分) 已知5sincoscossin1. (1)求tan的值； (2)求tan2a4的值 16.(本小题满分10分) 已知向量a(2sin，1)，b1，sin4. (1)若角的终边过点(3，4)，求ab的值； (2)若ab，求锐角的大小 17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)sin2xsinx3cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在6，23上的单调性 第卷(满分50分) 一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分 18两等差数列an和bn，其前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn7n2n3，则a2a20b7b15等于_ 19设函数f(x)（x1）2sinxx21的最大值为，最小值为，则_. 二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 20(本小题满分12分) 如图，在四棱锥PABcD中，PA底面ABcD，ADAB，ABDc，ADDcAP2，AB1，点E为棱Pc的中点 (1)证明：BEDc； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值 21.(本小题满分13分) 在四边形ABcD中，ADBc，AB3，A120，BD3. (1)求AD的长； (2)若BcD105，求四边形ABcD的面积 22.(本小题满分13分) 已知函数f(x)x|xa|bx(a，bR) (1)当b1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值； (2)当b1时， 若对于任意x1，3，恒有f（x）x2x1，求a的取值范围； 若a0，求函数f(x)在区间0，2上的最大值g(a) 湖南师大附中20172018学年度高一第二学期期末考试 数学参考答案 一、选择题 题号11 答案DDAcDBcBcBD 1.D【解析】选项A，根据向量的交换律可知正确；选项B，向量具有数乘的分配律，可知正确；选项c，根据向量的结合律可知正确；选项D，a，b不一定共线，故D不正确故选D. 2D【解析】A.单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B.A、B、c、D四点可能共线，故B不对；c.只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故c不对；D.因AB和BA方向相反，是平行向量，故D对故选D. 3A【解析】cos12cos18sin12sin18cos(1218)cos3032，故选A. 4c【解析】函数f(x)tanx1tan2xsinxcosxcos2xsin2x12sin2x的最小正周期为22，故选c. 5D【解析】由向量模的不等关系可得：|a|b|ab|a|b|. |ab|a|b|，故A恒成立 |a|b|ab|，故B恒成立 |a|b|ab|a|b|，故c恒成立 令a(2，0)，b(2，0)，则|a|2，|ab|0，则D不成立故选D. 6B【解析】根据函数的图象A2. 由图象得：T47123， 所以2T2. 当x3时，f32sin230， 23k，23k.kZ. 由于| 则：f()62，故选B. 7c【解析】根据题意，角，均以ox为始边，终边与单位圆o分别交于点A，B， 则A(cos，sin)，B(cos，sin)， 则有oAoBcoscossinsincos()； 故选c. 8B【解析】(sincos)2sin22sincoscos2 (sin2cos2)2sincos； 又sin2cos21，sincos310， (sincos)21231025； 得sincos105； 由42，知22 则sincos的值是105.故选B. 9c【解析】(0，2)，66，23， 由cos613，得sin61cos26223， 则sinsin66 sin6cos6cos6sin62233213122616.故选c. 10B【解析】将y3sin2x3的图象向右平移2个单位长度后得到y3sin2x23，即y3sin2x23的图象，令22k2x2322k，kZ，化简可得x12k，712k，kZ，即函数y3sin2x23的单调递增区间为12k，712k，kZ，令k0，可得y3sin2x23在区间12，712上单调递增，故选B. 11D【解析】由题意可得oPoAAPABABcosBAcAccosc， 所以APBcABBcABcosBAcBcAccosc BcBc0，所以APBc，即点P在Bc边的高所在直线上，即点P的轨迹经过ABc的垂心，故选D. 二、填空题 12【解析】(略) 1312【解析】sincos1， 两边平方可得：sin22sincoscos21， cossin0， 两边平方可得：cos22cossinsin20， 由得：22(sincoscossin)1，即22sin()1， 2sin()1. sin()12. 14.178【解析】ABAc，|AB|Ac|1，建立如图所示坐标系，设B1t，0，c(0，t)，AB1t，0，Ac(0，t)，APAB|AB|Ac4|Ac|t1t，014t(0，t)(1，14)，P(1，14)， P为线段Bc上一点，可设PcPB，从而有1，t141t1，14，即1t11，t1414，解之得t12. B2，0，c0，12.显然P1，14为Bc中点，点P为ABc外接圆圆心Q在ABc外接圆上，又当AQ过点P时AQ有最大值为2AP172， 此时AP与AQ夹角为0，cos1.APAQax172174178. 三、解答题 15【解析】(1)由题意，cos0，由5sincoscossin1，可得5tan11tan1， 即5tan11tan，解得tan12.(4分) (2)由(1)得tan22tan1tan243， tan24tan211tan27.(8分) 16【解析】(1)角的终边过点(3，4)，r32425， sinyr45，cosxr35； ab2sinsin4 2sinsincos4cossin4 24545223522322.(5分) (2)若ab，则2sinsina41， 即2sinsincos4cossin41， sin2sincos1， sincos1sin2cos2， 对锐角有cos0， tan1， 锐角4.(10分) 17【解析】(1)f(x)sin2xsinx3cos2x cosxsinx32(1cos2x) 12sin2x32cos2x32sin2x332， 因此f(x)的最小正周期为，最大值为232.(6分) (2)当x6，23时，02x3，从而当02x32，即6x512时，f(x)单调递增；22x3即512x23时，f(x)单调递减 综上可知，f(x)在6，512上单调递增；在512，23上单调递减(12分) 18.14924【解析】a2a20b7b15a1a21b1b21S21T2114924. 192【解析】可以将函数式整理为f(x)x212xsinxx2112xsinxx21，不妨令g(x)2xsinxx21，易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，函数f(x)图象关于点(0，1)对称若xx0时，函数f(x)取得最大值，则由对称性可知，当xx0时，函数f(x)取得最小值，因此，f(x0)f(x0)2. 20【解析】(1)如图，取PD中点，连接E、A.由于E、分别为Pc、PD的中点，故EDc，且E12Dc，又由已知，可得EAB且EAB，故四边形ABE为平行四边形，所以BEA. 因为PA底面ABcD，故PAcD，而cDDA，从而cD平面PAD，因为A平面PAD，于是cDA，又BEA，所以BEcD.(5分) (2)连接B，由(1)有cD平面PAD， 得cDPD，而EcD，故PDE，又因为ADAP，为PD的中点，故PDA，可得PDBE，所以PD平面BE，故平面BE平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线B，而BEE，可得EB为锐角，故EB为直线BE与平面PBD所成的角 依题意，有PD22，而为PD中点，可得A2，进而BE2.故在直角三角形BE中，tanEBEBEABBE12，因此sinEB33. 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(13分) 21【解析】(1)在四边形ABcD中， ADBc，AB3，A120，BD3. 由余弦定理得cos1203AD2923AD， 解得AD3(舍去AD23)， AD的长为3.(5分) (2)ABAD3，A120，ADB12(180120)30，又ADBc，DBcADB30. BcD105，DBc30，BDc1801053045，BcD中，由正弦定理得Bcsin453sin105，解得Bc333.(9分) 从而SBDc12BcBDsinDBc12(333)3sin3094(31)(10分) SABD12ABADsinA1233sin120343.(11分) SSABDSBDc12394.(13分) 22【解析】(1)当b1时，f(x)x|xa|xx(|xa|1)， 由f(x)0，解得x0或|xa|1， 由|xa|1，解得xa1或xa1. f(x)恰有两个不同的零点且a1a1， a10或a10，得a1.(4分) (2)当b1时，f(x)x|xa|x， 对于任意x1，3，恒有f（x）x2x1， 即x|xa|xx2x1，即|xa|2x11， x1，3时，2x110， 12x1xa2x11， 即x1，3时恒有ax2x11，ax2x11，成立 令tx1，当x1，3时，t2，2，xt21. x2x11t22t2(t1)23(21)2322， x2x11t22t(t1)210， 综上，a的取值范围是0，22(8分) f(x)x2axx，xax2axx，xaxa122（a1）24，xa，xa122（a1）24，xa. 当0a1时，a120，a12a， 这时yf(x)在0，2上单调递增， 此时g(a)f(2)62a； 当1a2时，0a12 yf(x)