二次函数竞赛题

二次函数竞赛题 1二次函数的图象的顶点为 D，与 x 轴正方向从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴正方向cbxxy 2 交于 C 点，若ABD 和OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点） ，则 cb2 2在直角坐标系中有三点 A（0，1） ，B（1，3） ，C（2，6） ；已知直线上横坐标为 0、1、2 的点分baxy 别为 D、E、F.试求的值使得 AD2+BE2+CF2达到最小值.ba, 3.（2004 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数 x、y、z 满足 x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则 z 的最大 值是_ 4.已知直线与抛物线相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB 的面积等于32 xy 2 xy _。 5.（2003 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数 y=ax2+bx+c（其中 a 是正整数）的图象 经过点 A（-1，4）与点 B（2，1） ，并且与 x轴有两个不同的交点，则 b+c 的最大值为_ 6.设抛物线的图象与 x 轴只有一个交点， （1）求 a 的值；（2）求的 4 5 212 2 axaxy 618 323 aa 值. 7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开 始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数 y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物100 x 线的一部分，当和时，图象是线段.2010 x4020 x （1）当时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式；100 x （2）一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟. 问老师能否经过适当安排， 使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于 36. 欢迎下载2 8课题研究：现有边长为 120 厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水 的流量最大 初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过 水槽的水的流量越大为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图 a） 若ACB=90，设 AC=x 厘米，该水槽的横截面面积为 y 厘米 2，请你写出 y 关于 x 的函数关系式（不必 写出 x 的取值范围） ，并求出当 x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？ 方案：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图 b） 若ABC=120，请你求出该水槽的横截面面积 的最大值，并与方案中的 y 的最大值比较大小 （2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大画 出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程） 9如图，抛物线与双曲线相交于点 A，B. 已知点 A 的坐标为（1，4） ，点 B 在第 2 (0)yaxbx a k y x 三象限内，且AOB 的面积为 3（O 为坐标原点）. （1）求实数 a，b，k 的值； （2）过抛物线上点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C，求所有 满 足EOCAOB 的点 E 的坐标. 10.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点. 2 230ymxmxm mxAB、yC （1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示） ，两点的坐标；MmAB、 （2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；BCMABC 欢迎下载3 （3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明BCM 理由. 11已知抛物线与动直线有公共点，且. 2 yxcxty) 12(),( 11 yx),( 22 yx32 22 2 2 1 ttxx （1）求实数 t 的取值范围； （2）当 t 为何值时，c 取到最小值，并求出 c 的最小值. 12.已知，且，求的最小值.0a0b0cacbacb24 2 acb4 2 13. 在自变量 x 的取值范围 59x60 内，二次函数的函数值中整数的个数是( ) 2 1 2 yxx A.59 B.120 C.118 D.60 14. 在直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于 A，B 的两点.若 A，B 两点到原点的距 22 3 (0) 4 yxmxm m 离分别为 OA，OB，且满足，则 m=_ _. 112 3OBOA 15. RtABC 的三个顶点 A，B，C 均在抛物线上，并且斜边 AB 平行于 x 轴若斜边上的高为 h，则 2 xy （ ） （A）h1 （B）h=1 （C）1h2 16. 设 0k1，关于 x 的一次函数，当 1x2 时的最大值是（ ）)1 ( 1 x k kxy （A）k （B） （C） （D） k k 1 2 k 1 k k 1 17. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点 12 12 x x y 的个数是 （ ） （A）2 个 （B）4 个 （C）6 个 （D）8 个 18. 函数的最小值是 142 2 xxy 欢迎下载4 图 6-2 y x 0 1 19.对，二次函数的最小值为（ ） 22 0baab ，)(bxaxy A. B. C. D. 2 ) 2 ( ba 2 ) 2 ( ba 2 ) 2 ( ba 2 ) 2 ( ba 20.两抛物线和与 x 轴交于同一点（非原点） ，且 a、b、c 为正数， 22 2baxxy 22 2bcxxy ac，则以 a、b、c 为边的三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 21.当 n=1，2，3，2003，2004 时，二次函数的图象与 x 轴所截得的线1) 12()( 22 xnxnny 段长度之和为（ ） A. B. C. D. 2003 2002 2004 2003 2005 2004 2006 2005 22.已知二次函数图象如图 6-2 所示，则下列式子： ab，ac，a+b+c，cbxaxy 2 a-b+c，2a+b，2a-b 中，其值为正的式子共有 个. 23.如果当 m 取不等于 0 和 1 的任意实数时，抛物线在平面直角坐标系上都过两 m m x m x m m y 321 2 个定点，那么这两个定点间的距离为 24.已知抛物线与 x 轴两个交点 A、B 不全在原点的左侧，抛物线顶点为 C，要使ABC1) 1( 2 xkxy 恰为等边三角形，那么 k 的值为 25.设 x 为实数，则函数的最小值是 1 2 1 563 2 2 xx xx y 26.设二次函数 的图象经过点（2，-1） ， 且与 x 轴交于不同的两点 A（x1，0） B（x2，0） ，qpxxy 2 M 为二次函数图象的顶点，求使AMB 面积最小时的二次函数的解析式. 27.已知：3x2+2y2=6x, x 和 y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值. 欢迎下载5 FE G AB CD A t s O N M H G F E DC B A D t s O B t s O C t s O 28.中,B=，AC=1，求 BA+BC 的最大值及这时三角形的形状.ABC 60 29.如图，点、在直线上，点、在直线上，若，从如图所示 的GDCaEFABbabRt GEF 位置出发，沿直线向右匀速运动，直到与重合运动过程中与矩形重合部分的面积bEGBCGEFABCD 随时间变化的图象大致是（ ） S t 30.（南京）如图，、分别是边长为的正方形的边上的点，,直线 EF4ABCDBCCD， 4 1 3 CECF，EF 交的延长线于，过线段上的一个动点作，垂足分别为，设，ABGFGHHMAGHNADMN，HMx 矩形的面积为AMHNy 求与之间的函数关系式；yx 当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？xAMHN 31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示 （1）请说明图中、两段函数图象的实际意义 （2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该 函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果 （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日 售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利 欢迎下载6 -2-1 O1x 2 价 价 价 价 kg价 价 价 价 价 价 价 价 O 60 20 4 5 润最大. 7 6 40 80 价 价 价 价 价 价 价 价 价 价 价 价 kg价 O 32函数的最小值为 m，则当 m 达到最大时，x_623) 12(2 22 kkxkxy （2004 年全国初中数学联赛） 33设 a，b 为实常数，k 取任意实数时，函数的图像与 x)3()(2) 1( 2222 bakkxkaxkky 轴交于点 A（1，0） （1）求 a，b 的值（2）若函数与 x 轴的另一个交点为 B，当 k 变化时，求 AB 的最大值 34.（2007 年福州）如图所示，二次函数（a0）的图象经过点（1，2） ，且与 x 轴交点的 2 yaxbxc 横坐标分别为、，其中21，01，下列结论： 1 x 2 x 1 x 2 x ；a1；.其中正确的有：（ ）420abc20ab 2 84baac A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 35.（2007 年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6 米，宽度 OM 为 12 米，现在 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如图所示） （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使 A、D 点在抛物线上，B、C 点在地面 OM 上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工 队计算一下 欢迎下载7 36.（2009 年天津市）已知函数为方程的两个根，点在 2 12 yxyxbxc， 12 0yy1MT， 函数的图象上 2 y （）若，求函数的解析式； 11 32 ， 2 y （）在（）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求 的值； 1 y 2 yAB，ABM 1 12 t （）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由0101t T， 37. 已知点 A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线 yx2上位于三角形 ABC 内（包括边界）的一动点， BP 所在的直线交 AC 于 E， CP 所在的直线交 AB 于 F。将表示为自变量 t 的函数。 BF CE 38在直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于 A，B 两点，bkxy0k （）xy 且使得OAB 的面积值等于3OAOB （1）用